Afstandsformlen

Afstandsformlen er en sætning (eller rettere, en familie af sætninger) til at finde afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Dette gøres ved at indsætte koordinatsættet fra punkterne, i formelen. Nedenfor er sætningen og dens bevis for et todimensionelt, kartesisk koordinatsystem angivet.

Sætningen

To givne punkter (A & B) er angivet ved:

${\displaystyle A:(x_{1};y_{1}){\frac {}{}}}$

${\displaystyle B:(x_{2};y_{2}){\frac {}{}}}$

Det vil således gælde at, afstanden mellem disse er:

${\displaystyle |AB|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

Dette skal bevises.

Beviset

Et billede som viser afstandsformlen i geometrisk form

På vores tegning kan vi følge med i hvad der sker. Vi benytter os af pythagoras' læresætning, der siger følgende om en retvinklet trekant:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}{\frac {}{}}}$

På tegningen kan der ses en retvinklet trekant, og med viden fra afstande, kan vi dermed sige at:

${\displaystyle |AB|^{2}=|x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}{\frac {}{}}}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle |AB|^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}{\frac {}{}}}$

${\displaystyle \Updownarrow }$

${\displaystyle |AB|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

Det er dermed bevist at denne formel må give afstanden mellem de to punkter.