Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

Et cylindrisk koordinatsystem også kaldet et semipolært koordinatsystem er en type af koordinatsystem indenfor matematik

Cylindrisk koordinatsystem

Cylindrisk koordinatsystem
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az

Et cylindrisk koordinatsystem også kaldet et semipolært koordinatsystem, er en type af koordinatsystem indenfor matematikken som udvider idéen for de todimensionale polære koordinater. Denne type af koordinater er primært velegnet til at fremstille cylindere i tre dimensioner.

image
Princippet i cylindriske koordinater. Her ses to punkter i tre dimensioner, hver især med deres koordinatsæt indtegnet.

Tilsvarende for de polære koordinater i det todimensionale tilfælde, udvides denne type af koordinatsystem som sagt ved at tilføje en højde til hver af koordinaterne. Dermed kræver det altså tre parametre for at kunne angive et specifikt punkt. Disse er henholdsvis ρ, som angiver afstanden fra origo til det pågældende punkt. φ som angiver vinklen i forhold til x-aksen i xy-planen. Samt h, som altså angiver den retvinklede afstand fra xy-planen til punktet, op ad z-aksen. Definitionen på punkterne bliver da således:

x=ρ⋅cos⁡(φ){\displaystyle x=\rho \cdot \cos(\varphi )}{\displaystyle x=\rho \cdot \cos(\varphi )}

y=ρ⋅sin⁡(φ){\displaystyle y=\rho \cdot \sin(\varphi )}{\displaystyle y=\rho \cdot \sin(\varphi )}

z=h{\displaystyle z=h\;}{\displaystyle z=h\;}

Eksempel

Som allerede nævnt har denne type af koordinater sin styrke i fremstillingen af cylindere, som der her vil blive vist et eksempel på. Man skal således have parametrene til at løbe mellem nogle definerede grænser, så lad os sige at vi ønsker en massiv halvcylinder, med radius 2, og højden 4.

image
Grafisk fremstilling af hvordan et cylinder "opbygges" vha. cylindriske koordinater

x=ρ⋅cos⁡(φ)y=ρ⋅sin⁡(φ)z=h},ρ∈[0,2],φ∈[0,π],h∈[0,4]{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\rho \cdot \cos(\varphi )\\y=\rho \cdot \sin(\varphi )\\z=h\end{matrix}}\right\}\quad ,\rho \in [0,2]\quad ,\quad \varphi \in [0,\pi ]\quad ,\quad h\in [0,4]}image

Retvinklede koordinater til semipolære koordinater

Ligesom for to dimensioner er det altså muligt at transformere sine kartesiske koordinater til cylindriske koordinater. Dette gøres på følgende måde:

ρ=x2+y2{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}image

φ=arctan⁡(yx){\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}image

h=z{\displaystyle h=z\;}image

Jacobideterminant

Indenfor de semipolære koordinater, kan det lade sig gøre at bestemme generelt. Dette gøres ved at opstille definitionerne på koordinaterne som vi allerede har gjort, og dernæst opstille det vi kalder . Man kan altså forestille sig at man opstiller definitionerne på koordinaterne i tre søjler i en matrix, for derefter at differentiere første søjle med hensyn til ρ, anden søjle med hensyn til φ og tredje søjle med hensyn til h. Når alt dette er gjort, opstår følgende matrix, som altså som sagt kaldes Jacobi-matricen:

JF(ρ,φ,h)=[cos⁡(φ)−ρsin⁡(φ)0sin⁡(φ)ρcos⁡(φ)0001]{\displaystyle J_{F}(\rho ,\varphi ,h)=\left[{\begin{matrix}\cos \left(\varphi \right)&-\rho \,\sin \left(\varphi \right)&0\\\sin \left(\varphi \right)&\rho \,\cos \left(\varphi \right)&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]}image

Det er altså denne matrix vi tager determinanten af, når vi finder jacobi-determinanten:

det(JF(ρ,φ,h))=|cos⁡(φ)−ρsin⁡(φ)0sin⁡(φ)ρcos⁡(φ)0001|=cos⁡(φ)2⋅ρ+sin⁡(φ)2⋅ρ=ρ__{\displaystyle {\textrm {det}}(J_{F}(\rho ,\varphi ,h))=\left|{\begin{matrix}\cos \left(\varphi \right)&-\rho \,\sin \left(\varphi \right)&0\\\sin \left(\varphi \right)&\rho \,\cos \left(\varphi \right)&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|=\cos(\varphi )^{2}\cdot \rho +\sin(\varphi )^{2}\cdot \rho ={\underline {\underline {\rho }}}}image

Jacobi-determinanten for semipolære koordinater er altså ganske enkelt ρ.

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: Januar 09, 2025, 08:41 am
De fleste læses
  • Kan 20, 2025

    Jordaan

  • Kan 23, 2025

    Jordnød

  • Kan 13, 2025

    John Rawls

  • Kan 17, 2025

    John Quincy Adams

  • Kan 15, 2025

    John Major

Daglige
  • Doctor Who

  • BBC

  • Udenjordisk liv

  • Torchwood

  • Inkarnation

  • Rumænien

  • Wasted Love (JJ-sang)

  • Aabenraa

  • Kartoffelsagen

  • Karpatiske Biosfærereservat

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top