Argand diagram Et komplekst tal z a b i displaystyle z a b cdot i kan illustreres med et punkt sort prik i et talplan hv

Ved et komplekst tal forstås en størrelse ${\displaystyle z}$, som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse ${\displaystyle \mathrm {i} }$. Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal skrives på formen

${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} ,\quad a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} }$

hvor ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor ${\displaystyle \mathrm {i} }$ er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$

Da det for ethvert reelt tal ${\displaystyle a}$ gælder, at ${\displaystyle a^{2}\geqq 0}$, kan ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales ${\displaystyle \mathrm {i} }$ også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

En stringent definition af de komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$ og den imaginære enhed ${\displaystyle \mathrm {i} }$ gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.

De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.

De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.

${\displaystyle {\color {White}\mathbb {C} }}$

Mængden af komplekse tal betegnes med bogstavet C med dobbeltstreg.

I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$ og ${\displaystyle z=a+\mathrm {i} \cdot b}$ eller der veksles frit mellem dem. For at fremhæve den imaginære enhed ${\displaystyle \mathrm {i} }$, anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering.

Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille ${\displaystyle i}$ til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen ${\displaystyle j}$ for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.

Her benyttes notationen ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$.

Inden for de reelle tal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ er der tradition for at betegne variable med bogstaverne ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$; inden for de komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$ anvendes traditionelt variabelnavne som ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle w}$.

De to dele af det komplekse tal ${\displaystyle z}$ kaldes realdelen og imaginærdelen:

Realdelen af ${\displaystyle z}$:		${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=a}$
Imaginærdelen af ${\displaystyle z}$:		${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=b}$

Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.

Fremstilling af et komplekst tal på formen ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$ er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:

${\displaystyle z=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }$   og   ${\displaystyle z=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }$

Man kan da omskrive således:

${\displaystyle a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} =a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }$

hvoraf

${\displaystyle a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} }$

Antag at ${\displaystyle b_{2}\neq b_{1}}$. Ved division fås da, at

${\displaystyle {\frac {a_{1}-a_{2}}{b_{2}-b_{1}}}=\mathrm {i} }$

Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen ${\displaystyle b_{2}\neq b_{1}}$ fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. ${\displaystyle b_{2}=b_{1}}$. Videre følger, at ${\displaystyle a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} =0}$, så også ${\displaystyle a_{2}=a_{1}}$. De to fremstillinger er altså ens.

Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$.

Vi betragter to komplekse tal,

${\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \quad }$ og ${\displaystyle \quad z_{2}=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }$.

Kompleks addition:

${\displaystyle z_{1}+z_{2}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )+(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\cdot \mathrm {i} }$

(1)

Kompleks subtraktion:

${\displaystyle z_{1}-z_{2}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )-(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\cdot \mathrm {i} }$

(2)

Kompleks multiplikation:

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} +b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot a_{2}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} }$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot \mathrm {i} }$

(3)

Kompleks division:

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle {\frac {a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }{a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}{(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}}}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle {\frac {(a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2})+(a_{2}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{2})\cdot \mathrm {i} }{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}}$

(4)

Kompleks konjugering:

${\displaystyle {\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i} }$

(5)

Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.

Eksempler

(Eks. 1)

Elementær regning med komplekse tal

• ${\displaystyle (5-4\cdot \mathrm {i} )+(-3-2\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}2-6\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle (2+\mathrm {i} )\cdot (3-4\cdot \mathrm {i} )=6-8\cdot \mathrm {i} +3\cdot \mathrm {i} +4={\color {ForestGreen}10-5\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {\frac {3-4\cdot \mathrm {i} }{5+2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(3-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}{(5+2\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}}={\frac {15-20\cdot \mathrm {i} -6\cdot \mathrm {i} +8\cdot {\mathrm {i} }^{2}}{25-4\cdot {\mathrm {i} }^{2}}}={\frac {7-26\cdot \mathrm {i} }{29}}={\color {ForestGreen}\textstyle {\frac {7}{29}}-{\frac {26}{29}}\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {\overline {2-7\cdot \mathrm {i} }}={\color {ForestGreen}2+7\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {\overline {7\cdot \mathrm {i} -2}}={\color {ForestGreen}-2-7\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {(a+b\cdot \mathrm {i} )}^{2}=(a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a+b\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}a^{2}-b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle (a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a-b\cdot \mathrm {i} )=a^{2}-{(b\cdot \mathrm {i} )}^{2}={\color {ForestGreen}a^{2}+b^{2}}}$

De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.

Mængden af reelle tal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ er et eksempel på den matematiske struktur, som kaldes et (tal)legeme. Det betyder, at der findes to kompositionsregler kaldet addition (skrevet med symbolet '${\displaystyle +}$') og multiplikation (skrevet med symbolet '${\displaystyle \cdot }$'), som opfylder følgende aksiomer, der kort beskrives ved hjælp af al-kvantor ${\displaystyle \forall }$ og eksistens-kvantor ${\displaystyle \exists }$:

• (${\displaystyle \mathbb {R} }$, +) er en kommutativ gruppe:
  • Den associative lov er opfyldt:

  ${\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} :(a+b)+c=a+(b+c)}$.

  • Den kommutative lov er opfyldt:

  ${\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} :a+b=b+a}$.

  • Der findes et neutralt element for addition eller nulelement, nemlig tallet ${\displaystyle 0}$:

  ${\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} :a+0=0+a=a}$.

  • Alle elementer er invertible, dvs. har et modsat element:

  ${\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} \;\exists \;a^{*}\in \mathbb {R} :a+a^{*}=0}$;

  det modsatte element til ${\displaystyle a}$ betegnes ${\displaystyle -a}$, ${\displaystyle a^{*}=-a}$.

• (${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )}$ er en kommutativ gruppe:
  • Den associative lov er opfyldt:

  ${\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

  • Den kommutative lov er opfyldt:

  ${\displaystyle \forall \;a,b\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot b=b\cdot a}$.

  • Der findes et neutralt element for multiplikation eller et-element, nemlig tallet ${\displaystyle 1}$:

  ${\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot 1=1\cdot a=a}$.

  • Alle elementer er invertible, dvs. har et reciprokt element:

  ${\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\;\exists \;a^{**}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:a\cdot a^{**}=1}$;

  det reciprokke element til ${\displaystyle a}$ betegnes ${\displaystyle 1/a}$ eller ${\displaystyle a^{-1}}$, ${\displaystyle a^{**}=1/a}$.

• Den distibutive lov er opfyldt, dvs.

  ${\displaystyle \forall \;a,b,c\in \mathbb {R} :a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$.

Mængden af komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$ konstrueres ved at betragte mængden af reelle talpar ${\displaystyle (a,b)}$ og heri definere følgende to kompositionsregler:

Addition:		${\displaystyle (a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})}$
Multiplikation:		${\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})=(a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})}$

Talparret ${\displaystyle (0,0)}$ er nul-element og talparret ${\displaystyle (1,0)}$ er ét-element:

${\displaystyle (a_{1},a_{2})+(0,0)=(a_{1}+0,a_{2}+0)=(a_{1},a_{2})}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (1,0)=(a_{1}\cdot 1-a_{2}\cdot 0,a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 1)=(a_{1},a_{2})}$

Man kan ved selvsyn kontrollere, at alle aksiomerne omtalt i forrige afsnit er opfyldt. Her følger et par eksempler:

Multiplikation er kommutativ fordi multiplikation (og addition) af reelle tal er det:

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (b_{1}\cdot a_{1}-b_{2}\cdot a_{2},b_{1}\cdot a_{2}+b_{2}\cdot a_{1})}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (b_{1},b_{2})\cdot (a_{1},a_{2})}$

Multiplikation er associativ, da udregning af de to sider giver samme resultat:

Venstre side:

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot ((b_{1},b_{2})\cdot (c_{1},c_{2}))}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (b_{1}\cdot c_{1}-b_{2}\cdot c_{2},b_{1}\cdot c_{2}+b_{2}\cdot c_{1})0}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}}$
	${\displaystyle \,,\,}$	${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})}$

Højre side:

${\displaystyle ((a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2}))\cdot (c_{1},c_{2})}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot (c_{1},c_{2})}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{2}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{1}}$
	${\displaystyle \,,\,}$	${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}\cdot c_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot b_{1}\cdot c_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\cdot c_{2})}$

De to resultater er ens.

Den associative lov vises ved tilsvarende (trælsomme) udregninger.

Modsat element Åbenbart er det modsatte element til ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ elementet ${\displaystyle (-a_{1},-a_{2})}$.

Reciprokt element Lad ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ være et element forskelligt fra ${\displaystyle (0,0)}$. Vi skal vise, at der findes et element ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ så

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (x_{1},x_{2})=(1,0)}$

Med anvendelse af produktdefinitionen fører dette til ligningssystemet

${\displaystyle {\Bigg \{}{\begin{matrix}{a_{1}\cdot x_{1}-a_{2}\cdot x_{2}=1}\\{a_{2}\cdot x_{1}+a_{1}\cdot x_{2}=0}\end{matrix}}}$

der har determinanten ${\displaystyle a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$, som er et positivt tal. Ligningssystemet har derfor netop én løsning

${\displaystyle (x_{1},x_{2})={\begin{pmatrix}{\frac {\begin{vmatrix}1&-a_{2}\\0&a_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}},{\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&1\\a_{2}&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&-a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{vmatrix}}}\end{pmatrix}}={\bigg (}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},{\frac {-a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}{\bigg )}}$

Det reciprokke element er derfor entydigt bestemt til

${\displaystyle {(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}},-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}\right)}$

(6)

Eksempel

(Eks. 2)

Det reciprokke tal til ${\displaystyle (a_{1},a_{2})=({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}$ er

${\displaystyle {(a_{1},a_{2})}^{-1}=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}},-{\frac {-{\tfrac {1}{2}}}{{\tfrac {1}{2}}^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)=\left({\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}},{\frac {\tfrac {1}{2}}{2\cdot {\tfrac {1}{4}}}}\right)=(1,1)}$

Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. Reglerne for addition og multiplikation lyder da

Addition:		${\displaystyle (a,0)+(b,0)=(a+b,0)}$
Multiplikation:		${\displaystyle (a,0)\cdot (b,0)=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)=(a\cdot b,0)}$
Reciprok værdi:		${\displaystyle {(a,0)}^{-1}=\left({\frac {a}{a^{2}+0}},-{\frac {0}{a^{2}+0}}\right)=(a^{-1},0)}$

På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal ${\displaystyle (a,0)}$ med det reelle tal ${\displaystyle a}$, og man siger, at mængden ${\displaystyle \mathbb {R} }$ er indlejret i ${\displaystyle \mathbb {C} }$ eller er en ægte delmængde af ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Medens de reelle tal er en ordnet mængde, dvs. for etvert talpar ${\displaystyle (a,b)}$ gælder, at enten er ${\displaystyle a<b}$ eller ${\displaystyle a=b}$ eller ${\displaystyle a>b}$, så gælder intet tilsvarende for komplekse tal; man kan ikke om to givne forskellige komplekse tal sige, at det ene er større end eller mindre end det andet.

Ifølge produktreglen gælder om det komplekse tal ${\displaystyle (0,1)}$ at

${\displaystyle (0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1-1\cdot 0)=(-1,0)}$

Det komplekse tal ${\displaystyle (0,1)}$ kaldes af historiske grunde den imaginære enhed og betegnes med ${\displaystyle \mathrm {i} }$:

${\displaystyle \mathrm {i} \equiv (0,1)}$

(7)

Da man kan identificere ${\displaystyle (-1,0)}$ med ${\displaystyle -1}$, når vi frem til ligningen

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$

Et vilkårligt komplekst tal ${\displaystyle z=(a,b)}$ kan nu skrives på formen

${\displaystyle z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)\cdot (0,1)}$

eller kort

${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$

(8)

Introduktionen af den imaginære enhed medfører en skrivemåde for komplekse tal, som er mere praktisk anvendelig end den oprindelige definition med talpar og kompositionsregler. Eksempelvis er

${\displaystyle z\cdot \mathrm {i} =a\cdot \mathrm {i} +b\cdot {\mathrm {i} }^{2}=-b+a\cdot \mathrm {i} }$.

Et komplekst tal ${\displaystyle z\ =a+b\cdot \mathrm {i} }$ kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne ${\displaystyle (a,b)}$ i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.

Nogle geometriske fortolkninger:

• Da ${\displaystyle {\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i} }$, svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
• Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum ${\displaystyle z=z_{1}+z_{2}}$ konstrueres som et parallelogram.
• Multiplikation med ${\displaystyle \mathrm {i} }$ sker ved drejning på ${\displaystyle 90^{\circ }}$, division ved drejning på ${\displaystyle -90^{\circ }}$.
• Da ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=a}$, fås realdelen ved projektion af ${\displaystyle (a,b)}$ på den reelle akse.
• Da ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)=b}$, fås imaginærdelen ved projektion af ${\displaystyle (a,b)}$ på den imaginære akse.

Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle {\bar {z}}}$:

${\displaystyle \mathrm {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}\cdot (z+{\bar {z}})}$

${\displaystyle \mathrm {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (z-{\bar {z}})}$

Et komplekst tal ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$, som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater ${\displaystyle {\text{P}}=(a,b)}$ også beskrives ved sine polære koordinater ${\displaystyle \left\langle r,\varphi \right\rangle }$. Her betegner ${\displaystyle r}$ punktets afstand fra origo ${\displaystyle {\text{O}}=(0,0)}$ og ${\displaystyle \varphi }$ er den vinkel, som liniestykket ${\displaystyle {\text{OP}}}$ danner med den reelle akse, se figuren.

Den polære koordinat ${\displaystyle r}$ kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives

${\displaystyle |z|=r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Den polære koordinat ${\displaystyle \varphi }$ kaldes det komplekse tals argument og skrives

${\displaystyle \arg(z)=\varphi =\operatorname {arctanxy} (a,b)}$

Her er ${\displaystyle \operatorname {arctanxy} (x,y)}$ den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne ${\displaystyle (x,y)}$ danner med førsteaksen.

Det komplekse tal ${\displaystyle z=0}$ har modulus ${\displaystyle \left\vert z\right\vert =0}$, men tillægges ikke noget argument.

Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis ${\displaystyle \arg(z)=\varphi }$ er argument for ${\displaystyle z}$, så kan også ethvert af tallene ${\displaystyle \varphi +2\cdot \pi \cdot n,\;n\in \mathbb {Z} }$ bruges som argument, fordi addition af et multiplum af ${\displaystyle 2\cdot \pi }$ ( eller ${\displaystyle 360^{\circ }}$ i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade ${\displaystyle \varphi }$ ligge i det halvåbne interval ${\displaystyle [-\pi ,\pi [}$ ( eller i gradmål ${\displaystyle [-180^{\circ },\,180^{\circ }[}$).

Eksempler

(Eks. 3)

${\displaystyle z=-\mathrm {i} }$	${\displaystyle \,:\,}$	${\displaystyle |z|={\sqrt {(0)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1}$		${\displaystyle \arg(z)=-\pi \ 2=-90^{\circ }}$
${\displaystyle z=-1+\mathrm {i} }$	${\displaystyle \,:\,}$	${\displaystyle |z|={\sqrt {(-1)^{2}+(1)^{2}}}={\sqrt {2}}}$		${\displaystyle \arg(z)=3/4\cdot \pi =135^{\circ }}$
${\displaystyle z=-5-12\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle \,:\,}$	${\displaystyle |z|={\sqrt {(-5)^{2}+(-12)^{2}}}={\sqrt {169}}=13}$		${\displaystyle \arg(z)=\operatorname {arctanxy} (-5,-12)\approx -1.9656\approx -112.62^{\circ }}$

De kartesiske koordinater for et komplekst tal ${\displaystyle z}$ med modulus ${\displaystyle r=|z|}$ og argument ${\displaystyle \varphi =\arg(z)}$ fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:

${\displaystyle \mathrm {Re} \,(z)=r\cdot \cos(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {Im} \,(z)=r\cdot \sin(\varphi )}$

Tallet kan derfor skrives

${\displaystyle z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )}$.

Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal

${\displaystyle z}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )}$	${\displaystyle \quad }$	${\displaystyle \varphi =\arg(z)}$
${\displaystyle w}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |w|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )}$	${\displaystyle \quad }$	${\displaystyle \psi =\arg(w)}$

bliver

${\displaystyle z\cdot w}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )\cdot |w|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi )\cdot \cos(\psi )-\sin(\varphi )\cdot \sin(\psi ))+(\cos(\varphi )\cdot \sin(\psi )+\sin(\varphi )\cdot \cos(\psi ))\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\sin(\varphi +\psi )\cdot \mathrm {i} )}$

hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske . Man kan heraf konkludere, at

${\displaystyle |z\cdot w|\,=\,|z|\cdot |w|}$

${\displaystyle \arg(z\cdot w)\,=\arg(z)+\arg(w)}$

For ${\displaystyle z\neq 0}$ gælder, at ${\displaystyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1}$. Heraf slutter vi dels at

${\displaystyle 1=|1|=\left|z\cdot {\frac {1}{z}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{z}}\right|\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{|z|}}}$

og dels at

${\displaystyle 0=\arg(1)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{z}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{z}}\right)\quad \Leftrightarrow \quad \arg \left({\frac {1}{z}}\right)=-\arg(z)}$

Heraf følger

${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|z\cdot {\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot {\frac {1}{|w|}}={\frac {|z|}{|w|}}}$

samt

${\displaystyle \arg \left({\frac {z}{w}}\right)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)-\arg(w)}$

Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen ${\displaystyle \mathrm {cis} }$ med komplekse funktionsværdier:

${\displaystyle \mathrm {cis} (x)=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R} }$

(9)

Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til ${\displaystyle x}$ fås

${\displaystyle \mathrm {cis} (x)'=-\sin(x)+\cos(x)\cdot \mathrm {i} =\cos(x)\cdot \mathrm {i} +\sin(x)\cdot \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {cis} (x)}$

Funktionen ${\displaystyle \mathrm {cis} }$ differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.

Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion ${\displaystyle \exp }$:

• ${\displaystyle \mathrm {cis} (z+w)=\mathrm {cis} (z)\cdot \mathrm {cis} (w)}$

• ${\displaystyle \mathrm {cis} (z-w)={\frac {\mathrm {cis} (z)}{\mathrm {cis} (w)}}}$

Anvendelse af ${\displaystyle \mathrm {cis} }$ medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot x^{2}}}$ kontra ${\displaystyle \mathrm {cis} (x^{2})}$.

Hvis man i formlen for produktet af ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle w}$ sætter ${\displaystyle z=w}$, får man

${\displaystyle z^{2}=|z|^{2}\cdot (\cos(2\cdot \varphi )+\sin(2\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )}$

og for produktet af ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle z^{2}}$ fås

${\displaystyle z^{3}=|z|^{3}\cdot (\cos(3\cdot \varphi )+\sin(3\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )}$

hvilket straks kan generaliseres til

${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N} }$

Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den

${\displaystyle (r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} ))^{n}=r^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N} }$

(10)

eller med anvendelse af ${\displaystyle \mathrm {cis} }$-funktionen, jfr. definitionen (9)

${\displaystyle \mathrm {cis} (z)^{n}=\mathrm {cis} (n\cdot z)}$

Opløftning af et komplekst tal ${\displaystyle z}$ til ${\displaystyle n}$-te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle n}$-te potens og gange dets argument ${\displaystyle \varphi }$ med ${\displaystyle n}$. Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.

Fordelen ved de Moivres formel for ${\displaystyle z^{n}}$ er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser ${\displaystyle z^{2}}$, ${\displaystyle z^{3}}$, ... ${\displaystyle z^{n-1}}$. Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af ${\displaystyle \arg(z)}$ samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.

Eksempler

(Eks. 4)

For det komplekse tal ${\displaystyle z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,}$ er ${\displaystyle \,|z|\approx 1.026937,\arg(z)\approx 0.389548\approx 22.39144^{\circ }}$

Potenser af ${\displaystyle z}$ beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.

Potenser af ${\displaystyle z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,}$

Potens	Kartesiske ${\displaystyle z}$-potenser	Modulus	Argument	Realdel	Imaginærdel
${\displaystyle n}$	${\displaystyle z^{n}}$	${\displaystyle |z|^{n}}$	${\displaystyle \arg(z)\cdot n}$	${\displaystyle \mathrm {Re} \,(z^{n})}$	${\displaystyle \mathrm {Im} \,(z^{n}}$)
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0.95+0.39\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.026\,937\,194}$	${\displaystyle 0.389\,547\,722}$	${\displaystyle 0.95}$	${\displaystyle 0.39}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0.7574+0.741\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.046}$	${\displaystyle 0.779\,095\,444}$	${\displaystyle 0.7504}$	${\displaystyle 0.741}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0.42389+0.996606\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.083\,007\,965}$	${\displaystyle 1.168\,643\,166}$	${\displaystyle 0.42389}$	${\displaystyle 0.996606}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0.014\,019\,16+1.112\,0928\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.112\,181\,160}$	${\displaystyle 1.558\,190\,888}$	${\displaystyle 0.014\,019\,16}$	${\displaystyle 1.112\,0928}$

Inden for de reelle tals mængde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ har ligningen ${\displaystyle x^{n}=1}$ enten én eller to reelle løsninger, nemlig ${\displaystyle x=1}$, hvis ${\displaystyle n}$ er ulige, og ${\displaystyle x=-1}$ og ${\displaystyle x=+1}$, hvis ${\displaystyle n}$ er lige.

Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen ${\displaystyle z^{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at

${\displaystyle z^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z^{n}|=|z|^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z|=1}$.

Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så ${\displaystyle z}$ kan skrives ${\displaystyle z=\operatorname {cis} (\varphi )}$, hvor ${\displaystyle \varphi }$ er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):

${\displaystyle z^{n}=1}$	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \operatorname {cis} (\varphi )^{n}=\operatorname {cis} (n\cdot \varphi )=1}$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} =1}$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \cos(n\cdot \varphi )=1}$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle n\cdot \varphi =2\cdot \pi \cdot p,\quad p\in \mathbb {N} }$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \varphi ={\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p,\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]}$

Løsningerne er altså de ${\displaystyle n}$ komplekse tal

${\displaystyle z=\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right),\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]}$

(11)

Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på ${\displaystyle {\tfrac {2\cdot \pi }{n}}}$ og udspænder en regulær ${\displaystyle n}$-kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder. ^{:55 :30}

Roden med ${\displaystyle p=1}$ betegnes normalt ${\displaystyle \varepsilon }$, de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som

${\displaystyle 1,\;\varepsilon ,\;\varepsilon ^{2},\;\varepsilon ^{3},\;...,\;\varepsilon ^{n-1},\quad \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\right)}$.

Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde ${\displaystyle n=5}$, hvor

${\displaystyle \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\right)=\cos(72^{\circ })+\sin(72^{\circ })\cdot \mathrm {i} }$.