Logaritme

Logaritmer er en klasse af matematiske funktioner ${\displaystyle \log _{a}}$, der opfylder

Graferne for den naturlige logaritme (${\displaystyle \ln(x)}$), logaritmen med grundtal 2 (${\displaystyle \log _{2}(x)}$) og logaritmen med grundtal ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

${\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x\,}$

for alle ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle a}$ kaldes for logaritmens grundtal. ${\displaystyle \log _{a}(y)}$ er altså det tal (den potens), som ${\displaystyle a}$ skal opløftes i, for at få ${\displaystyle y}$, og er derfor den inverse funktion til eksponentialfunktionen ${\displaystyle a^{x}}$.

Eksempel

Tager man for eksempel ${\displaystyle \log _{10}(100)}$ er resultatet 2, fordi ${\displaystyle 10^{2}=100}$.

Logaritmetabeller

Før regnemaskinerne blev udbredt, brugte man i stor stil logaritmetabeller med "færdigberegnede" logaritmer til en masse tal, til at lette regnearbejdet med. Eksempel: Skulle man gange to tal med hinanden, slog man tallenes logaritme op i tabellerne, lagde tallenes logaritmer sammen, hvorefter man fandt gangeresultatet ved at tage summens antilogaritme i en anden tabel. De to mest anvendte logaritmer er 10-talslogaritmen med grundtal 10 og den naturlige logaritme med grundtallet e (2,71828...). Brugen af logaritmetabeller er nu stort set blevet erstattet af lommeregnere og computerprogrammer.

Naturlige logaritme

Den naturlige logaritme er defineret som

${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{y}}\,\mathrm {d} y}$

De øvrige logaritmefunktioner kan defineres ud fra den naturlige logaritme ved

${\displaystyle \log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}.}$

Matematikere kalder ofte den naturlige logaritme for blot logaritmen (log), mens de pointerer 10-tallet i 10-talslogaritmen (log₁₀). Omvendt er ingeniørerens logaritme (log) den med grundtallet 10, og den naturlige logaritme betegnes ln. Da ingeniørerne var dem, der konstruerede lommeregneren, har deres betegnelser vundet indpas på dette hjælpemiddel.

Anvendelse

Eksempel på en logaritmisk skala

Logaritmer bruges bl.a. i udregning af visse enheder og værdier, ligesom logaritmiske skalaer ofte ses i koordinatsystemerne til visse grafer.

Regneregler

Logaritmerne spiller en central rolle i matematikken, hvilket skyldes følgende regneregler, som kan benyttes til at omdanne vanskelige multiplikationer eller divisioner til mere simple additioner eller subtraktioner. For positive reelle tal ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ og et reelt tal x, gælder der, at

• ${\displaystyle \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)}$
• ${\displaystyle \log({\tfrac {a}{b}})=\log(a)-\log(b)}$
• ${\displaystyle \log(a^{x})=x\log(a)\,}$.

Regnereglerne gælder generelt for alle logaritmer af vilkårlige base, inklusiv den naturlige logaritme.

Omregning til andre baser

En logaritme kan omregnes fra en base til en anden med følgende formel:

${\displaystyle \log _{a}(x)={\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}}$

Denne formel kan udledes på følgende måde:

${\displaystyle a^{\log _{a}(x)}=x}$

${\displaystyle \log _{b}(a^{\log _{a}(x)})=\log _{b}(x)}$

${\displaystyle \log _{a}(x)\cdot \log _{b}(a)=\log _{b}(x)}$

${\displaystyle \log _{a}(x)={\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}}$

Referencer

1. Holth (1987) s. 186
2. Hebsgaard (1989) s. 64

Se også

• Regnestok, Decibel, Eksponentialfunktion

Wikimedia Commons har medier relateret til: Logaritme

Bøger

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3
• Hebsgaard, Thomas m.fl. (1989): Matematik Grundbog 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-13-2