Ordning

En ordnet mængde vil i matematik sige en mængde med en relation ${\displaystyle \leq }$, som angiver hvilket af to elementer der er størst. For at relationen ${\displaystyle \leq }$ skal kaldes en ordning skal den have følgende egenskaber:

Refleksivitet ${\displaystyle x\leq x}$.

Transitivitet ${\displaystyle x\leq y}$ og ${\displaystyle y\leq z}$ medfører ${\displaystyle x\leq z}$.

Antisymmetri ${\displaystyle x\leq y}$ og ${\displaystyle y\leq x}$ medfører ${\displaystyle x=y}$.

En relation, som er refleksiv og transitiv men ikke antisymmetrisk, kaldes en præordning.

Eksempler på ordnede mængder

De reelle tal udgør en ordnet mængde.

De naturlige tal udgør en ordning når vi med ${\displaystyle a\leq b}$ mener at ${\displaystyle a}$ går op i ${\displaystyle b}$.

I relativitetsteori vil begivenheder (punkter i rumtiden) være en ordnet mængde, hvis vi med ${\displaystyle a\leq b}$ mener at der kan sendes et lyssignal fra ${\displaystyle a}$ til ${\displaystyle b}$.

Delmængderne af en mængde er ordnet hvis vi med ${\displaystyle A\leq B}$ mener ${\displaystyle A\subseteq B}$.

I udsagnslogik er ${\displaystyle A\leq B}$ mener ${\displaystyle B\Rightarrow A}$.

Underrummene af et vektorrum er ordnet hvis vi med ${\displaystyle A\leq B}$ mener ${\displaystyle A\subseteq B}$.

Vigtige typer af ordninger

En mængde siges at være totalt ordnet dersom to vilkårlige elementer er sammenlignelige så ${\displaystyle a\leq b}$ eller ${\displaystyle b\leq a}$. En ordnet mængde, som ikke er totalt ordnet, siges at være partielt (eller delvis) ordnet.

En ordnet mængde siges at være begrænset dersom den har et største og et mindste element. Det største element kaldes toppen af mængden og betegnes ${\displaystyle \top }$ mens det mindste element kaldes bunden af mængden og betegnes ${\displaystyle \bot }$.

En ordnet mængde kaldes et gitter dersom der for ethvert par af elementer findes et mindste element som dominerer parret og et største element som parret dominerer.

En mængde siges at være velordnet dersom enhver delmængde har et mindste element.