Sandsynlighedstæthedsfunktion

En sandsynlighedstæthedsfunktion (eller blot tæthedsfunktion eller tæthed) kaldes også frekvensfunktionen og er en matematisk funktion, der er brugt inden for sandsynlighedsregning og til at beskrive en absolut kontinuert^{[kilde mangler]}stokastisk variabel.

Tæthedsfunktionen, ${\displaystyle f(x)}$, er en integrabel funktion med egenskaberne: Den skal være positiv eller nul og den skal have en samlet areal på 1 svarende til 100 %

• ${\displaystyle f(x)\geq 0,\quad \forall x\in \Omega ={\mbox{Dm}}(f)}$.

• ${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ {\mbox{d}}x=1}$.

Arealet under tæthedsfunktionen, ${\displaystyle f(x)}$, kan tolkes som sandsynligheden for at en stokastisk variabel ${\displaystyle X}$ findes i et interval ${\displaystyle [a;b]\subseteq \Omega }$:

$${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\ {\mbox{d}}x}$$

Bemærk, at ikke alle intervaller altid er lige sandsynlige (det gælder kun for den jævne fordeling på et kompakt interval).

Tæthedsfunktionens ${\displaystyle f(x)}$ relation til den statistiske fordelingsfunktion ${\displaystyle F(x)}$ er

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$

eller

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}F(x)}$ (hvor højresiden er defineret)

Tæthedsfunktionen (for den absolut kontinuerte (og kontinuerte) stokastiske variabel) behøver ikke at være kontinuert. Et eksempel er den uniforme fordeling på intervallet ${\displaystyle [a,b]}$.

Eksempel: Tæthedsfunktionen for en central og normaliseret normalfordeling (el. standardnormalfordelingen, som den også kaldes) er

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$,

Hvis den stokastiske variable X er normalfordelt med middelværdi lig med nul og spredning lig med 1, så er sandsynligheden for at den stokastiske variable har værdier i intervallet ${\displaystyle [0;2]}$ er

${\displaystyle P(0\leq X\leq 2)=\int _{0}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right){\mbox{d}}x\simeq 0,4772498681}$ .

Sandsynligheden for at ${\displaystyle X\in [0;2]}$ er 47,7 %.

Eksempel: Tæthedsfunktionen for en ${\displaystyle \chi ^{2}}$-fordeling afhænger af antallet af frihedsgrader. Her er et eksempel med antallet af frihedsgrader ${\displaystyle fg=4}$

${\displaystyle f_{4}(x)={\begin{cases}{{\frac {1}{4}}\ x\ \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\right)}&{\text{, hvis }}x\geq 0\\0&{\text{, hvis }}x<0\end{cases}}}$

Grafen for ser således ud (Se figur).

Hvis man fx chi-i-anden test har fået en observation med en ${\displaystyle \chi ^{2}}$-testværdi, ${\displaystyle Q=6.5}$, så kan man beregne sandsynligheden for at få et tilsvarende eller være resultat (givet nul-hypotesen er sand):

${\displaystyle p{\text{-værdi}}=\int _{6,5}^{\infty }{\frac {1}{4}}x\ \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\right)\ {\text{d}}x\simeq 0,\!1648}$.

Dvs. der er altså en sandsynlighed på 16,48 % på at få en værre testværdi end 6,5, (givet nul-hypotesen er sand).

Grafen for chi-i-anden tæthedsfordelingen for 4 frihedsgrader.