Supremum

I matematikken siges supremum for en delmængde ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ af de reelle tal at være delmængdens mindste øvre grænse. Hvis ${\displaystyle x}$ er et sådant, skrives typisk: ${\displaystyle x=\sup A}$.

Hvis en mængde har flere øvre grænser, vil dens supremum således være den mindste af disse. Ved en øvre grænse i en mængde ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ forstås et reelt tal, ${\displaystyle x}$, der er større end eller lig alle elementer i ${\displaystyle A}$. Eksempelvis er 3 en øvre grænse for mængden {1,2,3}. Formelt:

${\displaystyle \forall a\in A:x\geq a}$.

Har en mængde en øvre grænse siges den at være opad begrænset.

Den mindste øvre grænse kan så defineres ved at ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ er en øvre grænse i ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, og hvis ${\displaystyle b}$ er en øvre grænse i ${\displaystyle A}$ er ${\displaystyle x\leq b}$.

Eksempler

${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3}$

${\displaystyle \sup\{(-1)^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}=1}$

${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=2\}={\sqrt {2}}}$

Supremumsegenskaben

En totalt ordnet mængde siges at have supremumsegenskaben, hvis enhver ikke-tom, delmængde af den har supremum.

En mængde har supremumsegenskaben, hvis og kun hvis den har infimumsegenskaben.

Se også

• Infimum