Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

En vinkelhalveringslinje er en linje der deler en vinkel i to lige store dele Den er m a o det geometriske sted for de p

Vinkelhalveringslinje

Vinkelhalveringslinje
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az

En vinkelhalveringslinje er en linje, der deler en vinkel i to lige store dele. Den er m.a.o. det geometriske sted for de punkter, som hver især befinder sig lige langt fra hver af de to linjer, der danner vinklen.

image
En trekant hvor vinkelhalveringslinjerne er indtegnet. Linjernes skæringspunkt er centrum for den største cirkel, som kan indeholdes i trekanten, den indskrevne cirkel.

I en vilkårlig trekant, hvor topvinklerne A{\displaystyle A}{\displaystyle A}, B{\displaystyle B}{\displaystyle B} og C{\displaystyle C}{\displaystyle C} samt disses modstående sider a{\displaystyle a}{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}{\displaystyle b} og c{\displaystyle c}{\displaystyle c} kendes, kan en ligning for fx A{\displaystyle A}{\displaystyle A}'s halveringslinje AD{\displaystyle AD}{\displaystyle AD} bestemmes ved på a{\displaystyle a}{\displaystyle a} at lokalisere punktet D{\displaystyle D}{\displaystyle D}, jævnfør Figur 1.

image
Figur 1

Først beregnes de fra B{\displaystyle B}{\displaystyle B} og C{\displaystyle C}{\displaystyle C} på AD{\displaystyle AD}{\displaystyle AD} nedfældede højder:

Bh=csin⁡(A2){\displaystyle B_{h}=c\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}{\displaystyle B_{h}=c\sin \left({\frac {A}{2}}\right)};

Ch=bsin⁡(A2){\displaystyle C_{h}=b\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}{\displaystyle C_{h}=b\sin \left({\frac {A}{2}}\right)}.

Dernæst defineres forholdstallet:

F=BhBh+Ch{\displaystyle F={\frac {B_{h}}{B_{h}+C_{h}}}}{\displaystyle F={\frac {B_{h}}{B_{h}+C_{h}}}},

som ganget med fx a{\displaystyle a}{\displaystyle a} giver |BD|{\displaystyle |BD|}{\displaystyle |BD|}.

Lader vi toppunkterne være givet ved

At=(A1,A2){\displaystyle A_{t}=(A_{1},A_{2})}{\displaystyle A_{t}=(A_{1},A_{2})},

Bt=(B1,B2){\displaystyle B_{t}=(B_{1},B_{2})}{\displaystyle B_{t}=(B_{1},B_{2})} og

Ct=(C1,C2){\displaystyle C_{t}=(C_{1},C_{2})}{\displaystyle C_{t}=(C_{1},C_{2})},

kan D{\displaystyle D}{\displaystyle D}'s koordinater bestemmes som følger:

D1=B1+F(C1−B1){\displaystyle D_{1}=B_{1}+F(C_{1}-B_{1})}{\displaystyle D_{1}=B_{1}+F(C_{1}-B_{1})};

D2=B2+F(C2−B2){\displaystyle D_{2}=B_{2}+F(C_{2}-B_{2})}{\displaystyle D_{2}=B_{2}+F(C_{2}-B_{2})}.

Hvis

d1=D1−A1{\displaystyle d_{1}=D_{1}-A_{1}}{\displaystyle d_{1}=D_{1}-A_{1}} og

d2=D2−A2{\displaystyle d_{2}=D_{2}-A_{2}}{\displaystyle d_{2}=D_{2}-A_{2}},

er halveringslinjens parametriske ligning givet ved

(A1+d1t;A2+d2t){\displaystyle (A_{1}+d_{1}t;A_{2}+d_{2}t)}{\displaystyle (A_{1}+d_{1}t;A_{2}+d_{2}t)},

mens dens kartesiske ligning kan skrives på formen

−d2(x−A1)+d1(y−A2)=0⟺{\displaystyle -d_{2}(x-A_{1})+d_{1}(y-A_{2})=0\quad \Longleftrightarrow }{\displaystyle -d_{2}(x-A_{1})+d_{1}(y-A_{2})=0\quad \Longleftrightarrow }

−d2x+d1y+k=0⟺{\displaystyle -d_{2}x+d_{1}y+k=0\quad \Longleftrightarrow }{\displaystyle -d_{2}x+d_{1}y+k=0\quad \Longleftrightarrow }

k=d2A1−d1A2{\displaystyle k=d_{2}A_{1}-d_{1}A_{2}}{\displaystyle k=d_{2}A_{1}-d_{1}A_{2}}.

Skæring mellem vinkelhalveringslinjer

Da vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden i centrum for trekantens indskrevne cirkel, er det vigtigt at kunne bestemme skæringspunktet mellem mindst to af disse linjer. Her er et eksempel på, hvordan det kan gøres. Da vi allerede kender A{\displaystyle A}image's halveringslinjes kartesiske ligning (se ovenfor), anfører vi nu den parametriske ligning for C{\displaystyle C}image's halveringslinje, der er givet ved

(C1+(F1−C1)t,C2+(F2−C2)t){\displaystyle \left(C_{1}+\left(F_{1}-C_{1}\right)t,C_{2}+\left(F_{2}-C_{2}\right)t\right)}image,

og som skærer C{\displaystyle C}image i punktet F{\displaystyle F}image, bestemt ved

F1=A1+(B1−A1)bsin⁡(C/2)bsin⁡(C/2)+asin⁡(C/2){\displaystyle F_{1}=A_{1}+{\frac {(B_{1}-A_{1})b\sin(C/2)}{b\sin(C/2)+a\sin(C/2)}}}image,

F2=A2+(B2−A2)bsin⁡(C/2)bsin⁡(C/2)+asin⁡(C/2){\displaystyle F_{2}=A_{2}+{\frac {(B_{2}-A_{2})b\sin(C/2)}{b\sin(C/2)+a\sin(C/2)}}}image.

Ligningen for C{\displaystyle C}image's halveringslinje indsættes nu i ligningen for A{\displaystyle A}image's:

−d2(C1+(F1−C1)t)+d1(C2+(F2−C2)t)+k=0⟺{\displaystyle -d_{2}(C_{1}+(F_{1}-C_{1})t)+d_{1}(C_{2}+(F_{2}-C_{2})t)+k=0\qquad \Longleftrightarrow }image

t1=d2C1−d1C2−kd1(F2−C2)−d2(F1−C1){\displaystyle t_{1}={\frac {d_{2}C_{1}-d_{1}C_{2}-k}{d_{1}(F_{2}-C_{2})-d_{2}(F_{1}-C_{1})}}}image,

som efter indsættelse i C{\displaystyle C}image's halveringslinjes ligning giver skæringskoordinaterne:

S1=C1+(F1−C1)t1{\displaystyle S_{1}=C_{1}+(F_{1}-C_{1})t_{1}}image,

S2=C2+(F2−C2)t1{\displaystyle S_{2}=C_{2}+(F_{2}-C_{2})t_{1}}image.

Bemærk, at t{\displaystyle t}image-parameteren, før den isoleres på venstresiden, omdøbes til t1{\displaystyle t_{1}}image.

Vinkelhalveringsteorem

I henhold til det såkaldte vinkelhalveringsteorem, er

|BD||AB|=|DC||AC|{\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}={\frac {|DC|}{|AC|}}}image,

hvilket nu vil blive bevist: Ifølge de trigonometriske læresætninger (for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter) er

|BD||AB|=sin⁡(∠BAD)sin⁡(∠BDA){\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}={\frac {\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle BDA)}}}image og

|DC||AC|=sin⁡(∠CAD)sin⁡(∠ADC){\displaystyle {\frac {|DC|}{|AC|}}={\frac {\sin(\angle CAD)}{\sin(\angle ADC)}}}image,

hvilket man kan forvisse sig om ved at gange over kors i begge ligninger.

Da højresiderne i disse er ens, må venstresiderne også være det, og med denne konstatering er beviset fuldført.

Indsættes de kendte parametre (sidelængderne a{\displaystyle a}image, b{\displaystyle b}image og c{\displaystyle c}image) i vinkelhalveringsteoremet, kan D{\displaystyle D}image's koordinater bestemmes uden direkte brug af trigonometriske beregninger:

|BD||c|=|a|−|BD||b|⟺{\displaystyle {\frac {|BD|}{|c|}}={\frac {|a|-|BD|}{|b|}}\quad \Longleftrightarrow }image

|BD|+|b||BD||c|=|a|⟺{\displaystyle |BD|+{\frac {|b||BD|}{|c|}}=|a|\quad \Longleftrightarrow }image

(1+|b||c|)|BD|=|a|⟺{\displaystyle \left(1+{\frac {|b|}{|c|}}\right)|BD|=|a|\quad \Longleftrightarrow }image

|BD|=|a||c||b|+|c|⟺{\displaystyle |BD|={\frac {|a||c|}{|b|+|c|}}\quad \Longleftrightarrow }image

F=|BD||a|.{\displaystyle F={\frac {|BD|}{|a|}}.}image

Efter omskrivningen af forholdstallet F{\displaystyle F}image finder vi igen, at D{\displaystyle D}image's koordinater er givet ved

D1=B1+F(C1−B1){\displaystyle D_{1}=B_{1}+F(C_{1}-B_{1})}image,

D2=B2+F(C2−B2){\displaystyle D_{2}=B_{2}+F(C_{2}-B_{2})}image.

Eksterne henvisninger

Vinkelhalvering. Program til beregning af vinkelhalveringslinjer og skæringer mellem disse etc.

Angle Bisector Theorem (med henvisning til Euklid). Fra ProofWiki.

Angle Bisector Theorem. Fra Art of Problem Solving.

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: December 02, 2024, 16:43 pm
De fleste læses
  • Kan 10, 2025

    Præsumptionsansvar

  • Kan 20, 2025

    Præstegård

  • Kan 19, 2025

    Prærievadegræs

  • Kan 22, 2025

    Præmonstratenserordenen

  • Kan 21, 2025

    Protestantismen

Daglige
  • Rumskib

  • TARDIS

  • Inkarnation

  • Bukarest

  • Eurovision Song Contest 2025

  • Novo Nordisk

  • E-metanol

  • Aabenraa

  • Kartoffelsagen

  • Ukrain

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top