Rydbergs formel

Rydbergs formel beskriver emissionsspektret fra brint og ioner. Den udsendte bølgelængde ${\displaystyle \lambda }$ er for brint givet ved:

på en logaritmisk skala.

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}$

hvor ${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=10.973.731,\!6\,{\text{m}}^{-1}\approx 1,097\cdot 10^{7}\,{\text{m}}^{-1}}$ er , mens ${\displaystyle n}$ og ${\displaystyle m}$ er positive heltal. For brint-lignende ioner, hvor der stadig kun er én elektron, men kernen har en ladning på ${\displaystyle Z}$ elementarladninger, er formlen givet ved:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=Z^{2}R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}$

Formlen blev formuleret af den svenske fysiker Johannes Rydberg i 1888.

Serier

Ved at sætte ${\displaystyle n}$ lig med en bestemt værdier kan forskellige tidligere spektralserier udledes:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle m}$	Navn	Konvergerer imod
1	2 – ∞		91.13 nm (UV)
2	3 – ∞		364.51 nm (Synligt)
3	4 – ∞		820.14 nm (Infrarødt)
4	5 – ∞		1458.03 nm (Fjerninfrarødt)
5	6 – ∞		2278.17 nm (Fjerninrarødt)
6	7 – ∞		3280.56 nm (Fjerninrarødt)

Serierne konvergerer, fordi det andet led i Rydbergs formel går mod nul, når ${\displaystyle m}$ går mod uendelig.

Udledning

Hovedartikel: Bohrs atommodel.

Rydbergs formel er lige til at udlede fra Bohrs atommodel. I den kan elektronerne kun antage diskrete energiniveauer givet ved:

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

hvor ${\displaystyle n}$ igen er et positivt heltal. I formlen er ${\displaystyle e}$ elementarladningen, ${\displaystyle m}$ er elektronens masse, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ er vakuumpermittiviteten, og ${\displaystyle \hbar }$ er Plancks reducerede konstant. Hvis en elektron nu går fra en høj tilstand ${\displaystyle m}$ til en lav tilstand ${\displaystyle n}$, er energiændringen givet ved:

${\displaystyle \Delta E=E_{m}-E_{n}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

Energien frigives i form af en foton, hvis energi er proportional med frekvensen ${\displaystyle \nu }$:

${\displaystyle \Delta E=h\nu }$

Her er ${\displaystyle h}$ Plancks konstant. Frekvensen er lysets fart ${\displaystyle c}$ divideret med ${\displaystyle \lambda }$, så

${\displaystyle h{\frac {c}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

eller

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

Dermed er Rydbergs formel udledt, hvor Rydbergs konstant altså er lig med:

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}={\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$

Udtrykket ${\displaystyle e^{4}}$ kommer fra Coulombs lov, så der skal blot ganges en faktor ${\displaystyle Z^{2}}$ på for at generalisere til andre atomkerner.

Eksterne henvisninger

• Video om Rydbergs formel

Kildehenvisninger

1. Se:
   • Rydberg, J.R. (1889). "Researches sur la constitution des spectres d'émission des éléments chimiques" [Investigations of the composition of the emission spectra of chemical elements]. Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar [Proceedings of the Royal Swedish Academy of Science]. 2nd series (fransk). 23 (11): 1-177.
   • Opsummering på engelsk: Rydberg, J.R. (1890). "On the structure of the line-spectra of the chemical elements". Philosophical Magazine. 5th series (engelsk). 29: 331-337.
2. "The Rydberg Formula and the Hydrogen Atomic Spectrum", chem.libretexts.org (engelsk), , hentet 27. december 2020
3. Bohr, Niels (1913). "On the Constitution of Atoms and Molecules" (PDF). . 26 (151): 1-25. doi:10.1080/14786441308634955.
4. "Derivation of the Rydberg Equation from Bohr's Model", chem.libretexts.org (engelsk), , hentet 27. december 2020