En abelsk gruppe eller en kommutativ gruppe er inden for matematikken en gruppe G hvor den tilhørende operator er kommut

En abelsk gruppe (eller en kommutativ gruppe) er inden for matematikken en gruppe, (G, *), hvor den tilhørende operator, *, er kommutativ; for alle a og b i G skal gælde a * b = b * a. Grupperne er opkaldt efter den norske matematiker Niels Henrik Abel. Teorien om abelske grupper er generelt simplere end for de ikke-abelske. Dog danner uendelige abelske grupper grundlag for et aktivt forskningsområde i matematikken.

Eksempler

Heltallene, Z, danner en abelsk gruppe under addition (n + m = m + n for alle heltal n og m) og det samme gør mængden af heltal modulo n, Z/nZ. Faktisk er enhver , G, abelsk, da der for x og y i G gælder xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.

Enhver ring er en abelsk gruppe mht. additionsoperatoren. I en kommutativ ring danner mængden af invertible elementer (dvs. ) en abelsk . Specielt er de reelle tal en abelsk gruppe under addition, mens de reelle tal fraregnet nul er en abelsk gruppe under multiplikation.

Enhver undergruppe af en abelsk gruppe er , så enhver undergruppe giver anledning til en . Undergrupper, kvotientgrupper, og den af abelske grupper er igen en abelsk gruppe.

Mængden af kvadratiske matricer danner en gruppe under multiplikation, der ikke er en abelsk gruppe, da matrixmultiplikation generelt ikke er kommutativt.