Astronomisk koordinatsystem

Sammenskrivningsforslag Artiklen Astronomisk koordinatsystem er foreslået føjet ind i Koordinatsystem for himmelrummet. (Siden oktober 2024)

Hvis man følger med stjerner og planeter på himlen, ser man, at de i løbet af et døgn ænder position. Man indfører derfor et astronomisk koordinatsystem, der er sfærisk, det vil sige, at man bruger to vinkelkoordinater til at angive positionen. Geografer gør noget lignende for at fastlægge lokationer på Jordens overflade, nemlig ved hjælp af geografisk længde (der varierer fra ${\displaystyle -}$180° over 0° ved Greenwich til +180°) og geografisk bredde (der varierer fra ${\displaystyle -}$90° ved Sydpolen over 0° ved ækvator til +90° ved Nordpolen). Forskellen er dog, at geografisk koordinater anvendes til at fastlægge positioner på Jorden set ovenfra, medens astronomer må se på stjernehimlen nedenfra.

Horisontsystemet er et eksempel på et koordinatsystem, som anvendes i astronomi. Udgangspunktet er lodlinjen, som skærer himmelkuglen i zenit, punktet over iagttageren. Horisontplanet står vinkelret på lodlinjen. Retningen til et himmellegeme (her gult) kan angives ved de to vinkelkoordinater azimut (rød bue, målt fra syd) og højde (blå bue, målt fra horisonten).

I astronomi benyttes flere koordinatsystemer, fordi der er flere måder at fastlægge, hvad der svarer til geografernes ækvator:

• Den lokale horisont fastlagt af den lokale lodlinje.
• Himlens ækvator fastlagt af Jordens rotationsakse.
• Ekliptika fastlagt af Solens bevægelse blandt stjernerne.
• Galaktisk ækvator fastlagt af koncentrationen af stjernerne i Mælkevejens bånd hen over himlen.

Herunder gives først en oversigt over koordinatsystemerne, derefter en mere udførlig beskrivelse.

Oversigt

Koordinat­system	Origo (udgangspunkt)	Grundplan	Poler	Koordinater		Nulretning
				Langs planet	Vinkelret på planet
Horisont- system	Iagttager	Horisonten	Zenit / Nadir	Azimut Az	Højde h	Horisontens syd- eller nordpunkt
Timevinkel- system	Iagttager eller Jordens centrum	Himlens ækvator	Himmel- polerne	Timevinkel ${\displaystyle \tau }$	Deklination ${\displaystyle \delta }$	Lokal meridian
Ækvator- system	Jordens centrum			Rektascension ${\displaystyle \alpha }$		Forårspunktet
Ekliptikale system	Jordens eller Solens centrum	Ekliptika	Ekliptikas poler	Ekliptikal længde ${\displaystyle \lambda }$	Ekliptikal bredde ${\displaystyle \beta }$
Galaktiske system	Solens centrum	Mælkevejs- galaksens plan	Galaktiske poler	Galaktisk længde l	Galaktisk længde b	Mælkevejs- galaksens centrum

I det følgende beskrives disse systemer nærmere.

Horisontsystemet

Figuren illustrerer definitionen af horisontkoordinaterne azimut og højde. Den viser et udsnit af himlen, der måler 360° × 70° med horisonten (grøn ret linje) løbende forneden. Den er konstrueret til at gælde for den geografiske bredde φ = +55°. De fire verdenshjørner er afsat på horisonten. Buen vinkelret på horisonten gennem sydpunktet er meridianen (lodret sort linje). Et himmellegemes position på himlen beskrives i horisontsystemet med to vinkelangivelser: Azimut, Az, er vinklen regnet fra syd til himmellegemets fodpunkt, højden, h, er dets højde over horisonten. På figuren er (Az, h) for himlens lysstærkeste stjerne, Sirius, markeret med rød farve. Til det viste tidspunkt er (Az, h) = (18.7°, 16.5°). Der er tale om et øjebliksbillede. Stjernerne står op ved den østlige horisont (omkring E), står højst på himlen i syd (S) og går ned ved den vestlige horisont (omkring W). Mod nord (N) finder man stjerner, som ikke går ned i døgnets løb, de er cirkumpolare. Nogle af himlens stjernebilleder er medtaget på illustrationen. Fra venstre mod højre er det Bootes (Bjørnevogteren), Leo (Løven), Canis Major (Store Hund med Sirius), Orion, Cassiopeia, Cepheus og Ursa Minor (Lille Bjørn) med polstjernen Polaris til venstre. De tre sidste stjernebilleder er cirkumpolare.

Timevinkelsystemet

Figuren illustrerer definitionen af timevinkelsystemets koordinater timevinkel og deklination. Den viser et udsnit af himlen, der måler 200° × 70° med horisonten (grøn ret linje) løbende forneden. Den er konstrueret til at gælde for den geografiske bredde φ = 55°. Tre af de fire verdenshjørner er afsat på horisonten. I figurens højre del vises en gul stjerne, hvis horisontkoordinater, azimut Az og højde h er markeret med rød farve. Den blå kurve viser himlens ækvator, der kan opfattes som en forlængelse af Jordens ækvator ud på himmelkuglen. Den skærer horisonten i øst (E) og i vest (W). I timevinkelsystemet måles den ene vinkelkoordinat, timevinklen τ (tau) fra ækvators skæring med meridianen til stjernens fodpunkt på ækvator; timevinklen er markeret med magenta farve. Den anden vinkelkoordinat er deklinationen δ (delta), som måles fra fodpunktet og op til stjernen. Stjernens koordinater i horisontsystemet er her (Az, h) = (40°, 50°) og i timevinkelsystemet (τ, δ) = (26° 07′, +20° 11′) = (1^h 44.5^m, +20° 11′). Vestpunktet har koordinaterne (τ, δ) = (90°, 0°) = (6^h, 0°), idet timevinklen traditionelt også angives i tidsmål. Da 24^h = 360°, er 1^h = 15°. Østpunktet E har koordinaterne (τ, δ) = (18^h, 0°). Figurens venstre del viser masker i timevinkelsystemet med udstrækning på 10° × 10°. Ved projektionen på horisontsystemet er maskerne blevet fortegnede.

Ækvatorsystemet

Figuren illustrerer definitionen af stjernetid og ækvatorkoordinaterne rektascension og deklination. Den viser et udsnit af himlen, der måler 200° × 70° med horisonten (grøn ret linje) løbende forneden. Den er konstrueret til at gælde for den geografiske bredde φ = 55°. Den blå kurve angiver himlens ækvator, som skærer horisonten i øst (E) og vest (W). I figurens højre del vises en gul stjerne, hvis timevinkel τ og deklination δ er markeret med lyseblå farve. Timevinklen vokser mod vest og deklinationen mod nord. Den orange kurve markerer et kort udsnit af ekliptika, der er Solens årlige bane på himlen. Den skærer himlens ækvator i forårspunktet markeret med et stiliseret vædderhoved. Forårspunktets timevinkel kaldes stjernetiden, betegnes θ (theta) og er vist med en grå pil. Stjernetiden vokser fra 0^h til 24^h (eller fra 0° til 360°) i løbet af et stjernedøgn. Forårspunktet bruges også som udgangspunkt for et himmellegemes ækvatorkoordinater. Rektascensionen α (alfa) er angivet med magenta farve, og deklinationen δ overtages fra timevinkelsystemet. Som det ses, er θ = τ + α. Figuren er konstrueret med følgende parametre: Stjernetid θ = 4^h 10m = 70°, (τ, δ) = (2^h, 25°), α = θ − τ = 2^h 10^m = 40°.

Figuren illustrerer ækvatorsystemet og dets koordinater rektascension og deklination. Den viser et udsnit af himlen, der måler 360° × 100° med himlens ækvator løbende gennem midten (sort ret linje). Desuden vises ekliptika, dvs. Solens årlige bane blandt stjernerne, med orange farve. Et himmellegemes position kan i ækvatorsystemet angives med to sfæriske koordinater, rektascensionen α (alfa) og deklinationen δ (delta). Rektascensionen måles fra forårspunktet, der som her traditionelt markeres med et stiliseret vædderhorn. Det er defineret som det punkt i ekliptika, hvor Solen om foråret krydser himlens ækvator for nordgående. Rektascensionen vokser mod venstre. Værdier er på figuren angivet både i gradmål og i tidsmål. Da 24^h svarer til 360°, kommer 1^h til at svare til 15°. Deklinationen måles vinkelret på ækvator voksende mod himlens nordpol. Position af Solen (☉) er markeret tre steder i banen. Til højre i forårspunktet, hvor dens koordinater er (α_☉, δ_☉) = (0°, 0°). Desuden 70° længere fremme i ekliptika; her er dens koordinater (α_☉, δ_☉) = (68° 22′, 26° 57′) = (4^h 33^m, 26° 57′). Og til venstre er Solens længde i ekliptika 270°, det er vintersolhverv, og dens koordinater er (α_☉, δ_☉) = (270°, −23° 27′) = (18^h, −23° 27′).
Himlens lysstærkeste stjerne, Sirius, er markeret med blå farve. Stjernens koordinater er (α_*, δ_*) = (101° 17′, −16° 43′) = (6^h 45^m, −16° 43′). Nær himlens nordpol (δ = 90°, udenfor billedet) finder man den klare stjerne Polaris, hvis koordinater er (α_*, δ_*) = (2^h 32^m, 89° 16′).
Nogle af himlens stjernebilleder er medtaget på illustrationen. Fra venstre mod højre er det Aquila (Ørnen), Scorpius (Skorpionen), Bootes (Bjørnevogteren), Virgo (Jomfruen), Leo (Løven), Orion samt Pegasus med Pegasus-firkanten.

Ekliptikasystemet

Figuren illustrerer ekliptikasystemet og dets koordinater ekliptikal længde og bredde. Den viser et udsnit af himlen, der måler 360° × 100° med ekliptika løbende gennem midten (orange ret linje). Ekliptikal længde, λ, vokser mod venstre fra 0° til 360°; ekliptikal bredde, β, varierer fra −90° ved ekliptikas sydpol til +90° ved ekliptikas nordpol. Figuren medtager intervallet −50° ≦ β ≦ +50°. Desuden vises himlens ækvator med blå farve. Solens position er markeret 12 gange med en forskel i længde i ekliptika på 30°. Første markering er i forårspunktet, der traditionelt angives med et stiliseret vædderhorn. Nogle af himlens stjernebilleder er medtaget på illustrationen. Fra venstre mod højre er det Aquila (Ørnen), Scorpius (Skorpionen), Bootes (Bjørnevogteren), Virgo (Jomfruen), Leo (Løven), Canis Major (Store Hund), Orion, Taurus (Tyren), Auriga (Kusken), Pegasus med Pegasus-firkanten samt Piscis Austrinus (Sydlige Fisk). Når Solens længde i ekliptika er 150°, står den tæt på den klare stjerne Regulus i Løven.

Galaktiske system

Figuren illustrerer det galaktiske system og dets koordinater, galaktisk længde og galaktisk bredde. Den viser et udsnit af himlen, der måler 360° × 100° med den galaktiske ækvator løbende gennem midten (rød ret linje). Galaktisk længde, l, vokser mod venstre fra 0° til 360°; galaktisk bredde, b, varierer fra −90° ved den galaktiske sydpol til +90° ved den galaktiske nordpol. Figuren medtager intervallet −50° ≦ b ≦ +50°. Koordinaternes nulpunkt er markeret med et sort kryds. Det ligger i retning af Mælkevejsgalaksens centrum. Desuden vises himlens ækvator med blå farve og ekliptika med orange farve. Nogle af himlens stjernebilleder er medtaget på illustrationen. Fra venstre mod højre er det Crux (Sydkorset), Canis Major (Store Hund), Orion, Taurus (Tyren), Auriga (Kusken), Cassiopeia, Lyra (Lyren), Hercules, Aquila (Ørnen), Sagittarius (Skytten) og Scorpius (Skorpionen).

Omregning mellem koordinatsystemer

Omregningen foregår i alle tilfælde ved at udtrykke den givne retnings rektangulære koordinater ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ dels i det nye system og dels i det oprindelige.

Ved hjælp af sfæriske trekanter kan man udlede nedenstående omregningsformler:

Horisontkoordinater - timevinkelkoordinater

Fra ${\displaystyle (Az,h)}$ til ${\displaystyle (\tau ,\delta )}$:

${\displaystyle \cos(\tau )\cdot \cos(\delta )}$	=	${\displaystyle \cos(\varphi )\cdot \sin(h)+\sin(\varphi )\cdot \cos(Az)\cdot \cos(h)}$	=	${\displaystyle X}$
${\displaystyle \sin(\tau )\cdot \cos(\delta )}$	=	${\displaystyle \sin(Az)\cdot \cos(h)}$	=	${\displaystyle Y}$
${\displaystyle \sin(\delta )}$	=	${\displaystyle \sin(\varphi )\cdot \sin(h)-\cos(\varphi )\cdot \cos(Az)\cdot \cos(h)}$	=	${\displaystyle Z}$

Fra ${\displaystyle (\tau ,\delta )}$ til ${\displaystyle (Az,h)}$:

${\displaystyle \cos(Az)\cdot \cos(h)}$	=	${\displaystyle \sin(\varphi )\cdot \cos(\tau )\cdot \cos(\delta )-\cos(\varphi )\cdot \sin(\delta )}$	=	${\displaystyle X}$
${\displaystyle \sin(Az)\cdot \cos(h)}$	=	${\displaystyle \sin(\tau )\cdot \cos(\delta )}$	=	${\displaystyle Y}$
${\displaystyle \sin(h)}$	=	${\displaystyle \cos(\varphi )\cdot \cos(\tau )\cdot \cos(\delta )+\sin(\varphi )\cdot \sin(\delta )}$	=	${\displaystyle Z}$

Timevinkelkoordinater - ækvatorkoordinater

Fra ${\displaystyle (\alpha ,\delta )}$ til ${\displaystyle (\tau ,\delta )}$: ${\displaystyle \quad \tau =\theta -\alpha \mod 360^{\circ }}$

Fra ${\displaystyle (\tau ,\delta )}$ til ${\displaystyle (\alpha ,\delta )}$: ${\displaystyle \quad \alpha =\theta -\tau \mod 24^{\text{h}}}$

Differencerne ${\displaystyle \theta -\alpha }$ og ${\displaystyle \theta -\tau }$ kan blive negative. I så fald skal der, som angivet med modulo-operatorerne, adderes 360º til ${\displaystyle \tau }$, henholdsvis 24^h til ${\displaystyle \alpha }$.

Ækvatorkoordinater - ekliptikakoordinater

Fra (${\displaystyle \alpha ,\delta )}$ til (${\displaystyle \lambda ,\beta )}$:

${\displaystyle \cos(\beta )}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \cos(\lambda )}$	=		${\displaystyle \cos(\delta )\cos(\alpha )}$
${\displaystyle \cos(\beta )}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \sin(\lambda )}$	=		${\displaystyle \cos(\varepsilon )\cdot \cos(\delta )\cdot \cos(\alpha )}$	+	${\displaystyle \sin(\varepsilon )\cdot \sin(\delta )}$
${\displaystyle \sin(\beta )}$			=	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \sin(\varepsilon )\cdot \cos(\delta )\cdot \sin(\alpha )}$	+	${\displaystyle \cos(\varepsilon )\cdot \sin(\delta )}$

Fra (${\displaystyle \lambda ,\beta )}$ til (${\displaystyle \alpha ,\delta )}$:

${\displaystyle \cos(\delta )}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \cos(\alpha )}$	=		${\displaystyle \cos(\beta )\cos(\lambda )}$
${\displaystyle \cos(\delta )}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \sin(\alpha )}$	=		${\displaystyle \cos(\varepsilon )\cdot \cos(\beta )\cdot \sin(\lambda )}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \sin(\varepsilon )\cdot \sin(\beta )}$
${\displaystyle \sin(\delta )}$			=		${\displaystyle \sin(\varepsilon )\cdot \cos(\beta )\cdot \sin(\lambda )}$	+	${\displaystyle \cos(\varepsilon )\cdot \sin(\beta )}$

Ækvatorkoordinater - galaktiske koordinater

Fra ${\displaystyle (\alpha ,\delta )}$ til ${\displaystyle (l,b)}$:

${\displaystyle \cos(b)}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \cos(l-l_{0})}$	=	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \sin(\gamma )\cdot \cos(\delta )\cdot \cos(\alpha -\alpha _{0})}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \cos(\gamma )\cdot \sin(\delta )}$
${\displaystyle \cos(b)}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \sin(l-l_{0})}$	=		${\displaystyle \cos(\delta )\cdot \sin(\alpha -\alpha _{0})}$
${\displaystyle \sin(b)}$			=		${\displaystyle \cos(\gamma )\cdot \cos(\delta )\cdot \cos(\alpha -\alpha _{0})}$	+	${\displaystyle \sin(\gamma )\cdot \sin(\delta )}$

Fra ${\displaystyle (l,b)}$ til ${\displaystyle (\alpha ,\delta )}$:

${\displaystyle \cos(\delta )}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \cos(\alpha -\alpha _{0})}$	=	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \sin(\gamma )\cdot \cos(b)\cdot \cos((l-l_{0})}$	+	${\displaystyle \cos(\gamma )\cdot \sin(b)}$
${\displaystyle \cos(\delta )}$	${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \sin(\alpha -\alpha _{0})}$	=		${\displaystyle \cos(b)\cdot \sin(l-l_{0})}$
${\displaystyle \sin(\delta )}$			=		${\displaystyle \cos(\gamma )\cdot \cos(b)\cdot \cos(l-l_{0})}$	+	${\displaystyle \sin(\gamma )\cdot \sin(b)}$

Eksempel på en omregning

Beregninger kan bekvemmest udføres med et regneark eller i et passende programmeringssprog.

Hvor står himlens klareste stjerne Sirius på himlen på den geografisk bredde ${\displaystyle \varphi =55^{\circ }57'}$ til et tidspunkt, hvor stjernetiden er ${\displaystyle \theta =8^{\text{h}}37^{\text{m}}}$? Stjernens ækvatorkoordinater for J2000.0 er

${\displaystyle (\alpha ,\delta )=(6^{\text{h}}45^{\text{m}},-16^{\circ }43')}$

Første trin består i at omregne til gradmål:

${\displaystyle \varphi =55+57/60=55.95^{\circ }\qquad \theta =15^{\circ }\cdot (8+37/60)=129.25^{\circ }}$

${\displaystyle (\alpha ,\delta )=(101.25^{\circ },-16.7166...^{\circ })}$.

Timevinklen bliver derfor ${\displaystyle \tau =\theta -\alpha =28^{\circ }}$.

I en mellemregning findes ${\displaystyle \cos }$- og ${\displaystyle \sin }$-værdier for alle argumenter, og af disse fås de rektangulære koordinater ${\displaystyle X,Y{\text{og}}Z}$ samt hjælpestørrelsen ${\displaystyle W={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$. Til sidst bestemmes azimut ${\displaystyle Az}$ og højde ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle Az=\operatorname {Arctanxy(X,Y)} \qquad h=\operatorname {Arctanxy(W,Z)} }$.

Her betegner ${\displaystyle \operatorname {Arctanxy} }$ en udvidet arcus tangens funktion med to argumenter.

Nedenstående illustration viser en mulig beregningsgang i et regneark.

Stjernen står altså ${\displaystyle 27.5^{\circ }}$ vest for sydretningen i en højde af ${\displaystyle 13.5^{\circ }}$.

Referencer

1. Peter Lancaster Brown. Bogen om astronomi. Universets hvem-hvad-hvor, side 252 - 256. Politikens Forlag, 1975. ISBN 87 567 1771 7.
2. Bodil E. Helt. Klassisk astronomi, side 1 - 18. Akademisk Forlag, 1975. ISBN 87 500 1566 4.