Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

Differentiering omdirigeres hertil For differentiering i forbindelse med undervisning se undervisningsdifferentiering Di

Differentiere

Differentiere
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az
image "Differentiering" omdirigeres hertil. For differentiering i forbindelse med undervisning, se undervisningsdifferentiering.

Differentialregning udgør sammen med integralregning den matematiske disciplin der hedder infinitesimalregning. Differentialregningen beskæftiger sig med, hvor meget en såkaldt afhængig variabel ændres, hvis der sker små ændringer i den variabel, den afhænger af, den uafhængige variabel. mellem ændringerne i hhv. den afhængige og den uafhængige variabel kaldes differentialkvotienten, og spiller en central rolle i differentialregningen.

image
Den grønne, røde og sorte linje (tangent) viser differentialkvotientens variation ved forskellige x-værdier for funktionen: f(x)=x×sin⁡(x2)+1{\displaystyle f(x)=x\times \sin(x^{2})+1}{\displaystyle f(x)=x\times \sin(x^{2})+1}. Grøn positiv differentialkvotient, rød negativ og sort nul.

Et dagligdags eksempel er sammenhængen mellem bruttoløn og lønnen efter skat: Hvis bruttolønnen stiger med én krone, ændres lønnen efter skat med f.eks. 53 øre. Differentialkvotienten er i dette tilfælde 0,53. Matematisk vil man betragte nettolønnen som en funktion af bruttolønnen, og differentialkvotienten svarer i dette tilfælde til marginalindkomsten (en krone minus marginalskatten) ved denne bruttoløn.

I eksemplet med lønnen bør man bemærke, at på grund af progressionen i bl.a. det danske skattesystem varierer marginalskatten: Har man i forvejen en lav løn, mærker man en større stigning i nettolønnen end hvis lønnen er større, dette kaldes progressiv beskatning. Med andre ord varierer differentialkvotienten med den uafhængige variabel (bruttolønnen), og er dermed selv en funktion af denne; en funktion der angiver hvor meget "glæde" man har af én krones lønforhøjelse.

Differentialkvotient i et punkt

Formel definition

Lad f{\displaystyle f}image være en funktion og lad x0{\displaystyle x_{0}}image være et punkt i funktionens definitionsmængde.

For at undersøge om funktionen f{\displaystyle f}image er differentiabel i punktet x0{\displaystyle x_{0}}image, skal man undersøge om differenskvotienten

ΔfΔx=f(x0+h)−f(x0)h{\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}image

har en grænseværdi a{\displaystyle a}image for h{\displaystyle h}image gående mod 0{\displaystyle 0}image .

Hvis grænseværdien findes, så siges funktionen at være differentiabel i punktet x0{\displaystyle x_{0}}image.

Tallet a{\displaystyle a}image kaldes for funktionens differentialkvotient i punktet x0{\displaystyle x_{0}}image.


Hvis en funktion f{\displaystyle f}image er differentiabel i x0{\displaystyle x_{0}}image med differentialkvotient a{\displaystyle a}image skrives også:

f′(x0)=a{\displaystyle f'(x_{0})=a}image.

Funktionen f′{\displaystyle f'}image som til ethvert punkt knytter den tilhørende differentialkvotient kaldes den afledede funktion af f{\displaystyle f}image.

Fortolkning

Da Δf=f(x0+h)−f(x0){\displaystyle \Delta f=f(x_{0}+h)-f(x_{0})}image er ændringen i funktionsværdi, når x{\displaystyle x}image vokser fra x0{\displaystyle x_{0}}image til x0+h{\displaystyle x_{0}+h}image kan differenskvotienten

ΔfΔx=f(x0+h)−f(x0)h{\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}image

tolkes som den gennemsnitlige ændring i funktionsværdi pr x{\displaystyle x}image-enhed [svarer til gennemsnitshastighed].

Differentialkvotienten fremkommer som grænseværdien for differenskvotienten når h{\displaystyle h}image går mod 0.

Differentialkvotienten kan derfor tolkes som den øjeblikkelige ændring i funktionsværdi pr x{\displaystyle x}image-enhed [svarer til øjeblikshastighed].


Grafisk fortolkes differenskvotienten som hældningen på sekanten, som forbinder punkterne (x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}image og (x0+h,f(x0+h)){\displaystyle (x_{0}+h,f(x_{0}+h))}image.

Differentialkvotienten fortolkes som hældningen på tangenten i punktet (x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}image.

Notation

Differentialregning som disciplin har mange år på bagen og matematikere i gennem tiden brugt forskellige notationer .

For den afledede funktion til f{\displaystyle f}image bruges i dag Leibnitz' notation f′{\displaystyle f'}image eller dfdx{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}image eller Dxf{\displaystyle D_{x}f}image.

Newtons prik-notation f˙{\displaystyle {\dot {f}}}image bruges ikke længere i matematik, men har overlevet enkelte steder i fysiken.


For differentialkvotienten for f{\displaystyle f}image i punktet x0{\displaystyle x_{0}}image bruges notationerne:

f′(x0)=dfdx|x=x0{\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}_{|x={x_{0}}}}image

Sprogbrug

De fleste (men ikke alle) matematiske funktioner kan beskrives ved en forskrift; et regneudtryk der beregner funktionsværdien (også kaldet den afhængige variabel) f(x){\displaystyle f(x)}image ud fra værdien af den uafhængige variabel x{\displaystyle x}image. Det at bestemme den afledede funktion f′{\displaystyle f'}image udfra f{\displaystyle f}image kaldes at differentiere funktionenen. Man bruger altså differentiering til at bestemme en funktions afledede.

Regneregler

image Uddybende artikel: Regneregler for differentiation

Ovenstående definition kan bruges til at "omregne" forskriften for en funktion, til forskriften for samme funktions afledede. Man kan f.eks. påvise at:

  • f(x)=k{\displaystyle f(x)=k}image, hvor k{\displaystyle k}image er en konstant, har den afledede f′(x)=0{\displaystyle f'(x)=0}image
  • f(x)=x⋅k{\displaystyle f(x)=x\cdot k}image, hvor k{\displaystyle k}image er en konstant, har den afledede f′(x)=k{\displaystyle f'(x)=k}image
  • f(x)=k⋅xn{\displaystyle f(x)=k\cdot x^{n}}image har den afledede f′(x)=k⋅n⋅xn−1{\displaystyle f'(x)=k\cdot n\cdot x^{n-1}}image, og heraf
  • f(x)=1x{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}image har den afledede f′(x)=−1x2{\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}image
  • Sinus-funktionen sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)}image har den afledede sin′⁡(x)=cos⁡x{\displaystyle \sin '(x)=\cos x}image
  • Cosinus-funktionen cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)}image har den afledede cos′⁡(x)=−sin⁡x{\displaystyle \cos '(x)=-\sin x}image
  • Tangens, tan⁡(x){\displaystyle \tan(x)}image, har den afledede tan′⁡(x)=1+tan2⁡(x){\displaystyle \tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)}image
  • Den naturlige eksponentialfunktion, exp(x)=ex{\displaystyle {\textrm {exp}}(x)=e^{x}}image, er sin egen afledede.
  • Eksponentialfunktionen, f(x)=ax{\displaystyle f(x)=a^{x}}image hvor a{\displaystyle a}image er en konstant, har differentialkvotienten f′(x)=ln⁡(a)ax{\displaystyle f'(x)=\ln(a)a^{x}}image, hvor ln{\displaystyle \ln }image er den naturlige logaritmefunktion
  • Den naturlige logaritme, ln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}image, har differentialkvotienten ln′⁡(x)=1x{\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{x}}}image

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

  • (f∘g)′(x)=(f(g(x)))′=g′(x)⋅f′(g(x)){\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))}image ()
  • (f+g)′(x)=f′(x)+g′(x){\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x){\frac {}{}}}image
  • (f−g)′(x)=f′(x)−g′(x){\displaystyle (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x){\frac {}{}}}image
  • (f⋅g)′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x){\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}image
  • (fg)′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}}image

Disse "omregnings-regler" kan alle bevises. Se evt. Matematiske beviser.

Alle differentiable funktioner er kontinuerte, hvorimod kontinuerte funktioner ikke nødvendigvis er differentiable.

Matematik Eksamen & Opgave eksempel

I følgende opgave bliver der demonstreret, hvordan man kan håndtere en lignende opgave til en evt. matematik eksamen uden hjælpemidler. Du vil have en formelsamling til rådighed, hvor du kan slå regnereglerne for differentiation op. Eksempel neden under er "let", og noget du ikke kan komme ud for Mat B/A skriftlig eksamen. En god huskeregel er, at opgaverne uden hjælpemidler hvor du skal differentiere, langt de fleste gange skal du bruge én af reglerne for sammensatte funktoner. Derfor er det en god idé at træne forskellige og mere komplekse.

Opgave 1) En funktion f er givet ved:

f(x)=2x3−3x+sin(x){\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x+sin(x)}image

f′(x)=2∗3x2−3+cos(x){\displaystyle f'(x)=2*3x^{2}-3+cos(x)}image

Svaret vil altså være:

f′(x)=6x2−3+cos(x){\displaystyle f'(x)=6x^{2}-3+cos(x)}image

Grafer, tangenter og hældningstal

image
Graferne for en funktion f (øverst) og dens differentialkvotient f'(x) (nederst)

På illustrationen til højre ses øverst grafen for en funktion f{\displaystyle f}image (blå kurve): I forskellige punkter langs grafen (grønne pletter) er der indtegnet tangenter til grafen (de røde linjestykker). Hældningstallet for en tangent til grafen for f{\displaystyle f}image, tegnet i det punkt der svarer til en bestemt værdi af x{\displaystyle x}image, er lig med f′(x){\displaystyle f'(x)}image.

Den orange kurve nederst på illustrationen er grafen for differentialkvotienten f′(x){\displaystyle f'(x)}image til funktionen f(x){\displaystyle f(x)}image: Bemærk, at når f{\displaystyle f}image er aftagende, er f{\displaystyle f}image' negativ, og de steder hvor f{\displaystyle f}image er voksende, er f′{\displaystyle f'}image positiv. De steder hvor tangenterne til grafen for f{\displaystyle f}image er vandrette, bliver f′{\displaystyle f'}image lig med nul.

Anvendelse i funktionsanalyse

image Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Ved at finde forskriften for den afledede af en reel funktion f(x){\displaystyle f(x)}image, f′(x){\displaystyle f'(x)}image, sætte denne lig med nul og løse den ligning der derved fremkommer, kan man finde de værdier af x{\displaystyle x}image hvor grafen for f(x){\displaystyle f(x)}image "vender om", dvs. skifter fra at være voksende til at være aftagende eller omvendt.

Dog skal man være opmærksom på at f{\displaystyle f}image f.eks. kan være stigende (hhv. faldende) indtil et vist punkt x{\displaystyle x}image hvor differentialkvotienten f′(x){\displaystyle f'(x)}image er lig med nul, for derefter at stige (hhv. falde) igen. Dette kaldes en vandret vendetangent (eller et saddelpunkt) og punktet er dermed ikke et ekstremumspunkt.

Alle de værdier af x{\displaystyle x}image hvor f′(x){\displaystyle f'(x)}image er lig med nul, og som ikke er saddelpunkter, markerer et såkaldt ekstremum; her antager f{\displaystyle f}image den højeste eller laveste værdi, enten for hele funktionens definitionsmængde (såkaldt globalt maksimum eller minimum), eller indenfor et vist område omkring det fundne x{\displaystyle x}image (lokalt maksimum eller minimum). Dette benyttes ved funktionsanalyse til at bestemme værdimængden for en given funktion.

Den ovenstående beskrivelse af en funktionsanalyse mht. ekstremumspunkter kaldes også at finde funktionens monotoniforhold. Til analysen kan tegnes en tilhørende monotonilinje, hvor funktionsværdien angives sammen med f′(x){\displaystyle f'(x)}image's værdi. Ved at se på f′(x){\displaystyle f'(x)}image's værdier afgøres herved om funktionen er voksende, aftagende eller konstant.

Relation til integralregning

Differentiering er den omvendte operation af integration: Funktionen F(x){\displaystyle F(x)}image siges at være en stamfunktion til funktionen f(x){\displaystyle f(x)}image, hvis differentialkvotienten af F(x){\displaystyle F(x)}image er f(x){\displaystyle f(x)}image, dvs.: F′(x)=f(x){\displaystyle F'(x)=f(x)}image.

Vender man tilbage til skatteeksemplet i begyndelsen af artiklen, kunne man, hvis man kendte sin marginalindkomst for enhver given indtægt, beregne sin nettoindkomst ved at lægge marginalindkomsterne for hver tjent krone sammen. Dette er netop kernen i integration. Se også Infinitesimalregningens hovedsætning.

Partielle afledede

Differentialkvotienten beskrevet ovenfor kan generaliseres til det tilfælde hvor en funktion har flere uafhængige variable, f.eks. f(x,y){\displaystyle f(x,y)}image. Her definerer man de partielle afledede på samme måde som ovenfor, blot betragter man de andre uafhængige variable som konstanter under differentieringen. For at vise at man har brugt denne fremgangsmåde erstattes det infinitesimale dx{\displaystyle dx}image med ∂x{\displaystyle \partial x}image:

∂f(x,y)∂x=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}}image

Tretrinsreglen

Tretrinsreglen er en metode til at beregne en differentialkvotient ved

1) at opskrive en differenskvotient

2) omdanne differenskvotienten til en differentialkvotient

3) lade differentialkvotientens nævner gå mod nul.

Det approksimerende førstegradspolynomium

Det approksimerende førstegradspolynomium er betegnelsen for en matematisk formel. Denne formel anvendes til én arbejdsgang at beregne hele forskriften for en tangent til en funktions graf.

Computer Algebra System (CAS)

Lommeregnere og matematisk software med CAS kan beregne differentialkvotient:

  • Texas Instruments grafregnere TI-92 og TI-89 beregner differentialkvotient med kommandoen: d{\displaystyle d}image(f{\displaystyle f}image, var)
  • Maplesoft Maple beregner differentialkvotient med kommandoen: diff(f(x{\displaystyle x}image),x{\displaystyle x}image)
  • Softwaren Xcas beregner differentialkvotient med kommandoen: diff(funktion,x{\displaystyle x}image)
  • I GeoGebra benyttes kommandoen: Afledede(f(x),x)

Se også

  • Integralregning
  • Differentialligning
  • (se ovenfor)

Bøger

  • Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Vejle, Forlaget Trip. ISBN 87-88049-18-3
  • Jensen, Steffen og Sørensen, Karin (1989): Differentialregning: En lærebog for matematisk gymnasium. Teori og redskab, 3. København, Christian Ejlers Forlag. ISBN 87-7241-557-6
  • Jessen, Claus m.fl. (1995): Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab. København, Gyldendal Undervisning. ISBN 87-00-19936-2

Referencer

  1. Differentialregning
  2. Højniveaumatematik 2, Thomas Hebsgaard og Hans Sloth, Trip Forlag
  3. The History of Notations of the Calculus, Florian Cajori, Annals of Mathematics , Sep., 1923, Second Series, Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46 https://www.jstor.org/stable/1967725
  4. differentialregning | lex.dk – Den Store Danske
  5. "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 29. september 2020. Hentet 21. maj 2020.
  6. http://olewitthansen.dk/Matematik/Differentialregning.pdf
  7. Differentialregning
  8. https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/oversigt_differentialregning_integralregning.pdf
  9. "Diff-Ind.Doc" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 10. april 2017. Hentet 27. juni 2020.
  10. "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 29. juni 2020. Hentet 27. juni 2020.
  11. http://www.mat1.dk/diffregn3del-101.pdf
  12. Buy
  13. Holth (1987) s. 163-4
  14. "Arkiveret kopi" (PDF). Arkiveret fra originalen (PDF) 5. november 2019. Hentet 21. maj 2020.
  15. diff or Diff - Maple Programming Help
  16. http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: November 19, 2024, 00:04 am
De fleste læses
  • Kan 11, 2025

    Helios

  • Kan 08, 2025

    Helbred

  • Kan 13, 2025

    Heinrich Walter

  • Kan 11, 2025

    Heinrich Rickert (filosof)

  • Kan 09, 2025

    Heinrich Schliemann

Daglige
  • Tidsrejsen (julekalender)

  • Emanuel Andreas Lundbye

  • Vikings (tv-serie)

  • Harry (DSB)

  • Robertprisen

  • JJ (sanger)

  • Sissal

  • Kartoffelsagen

  • Pave Leo 14.

  • Pave

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top