Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Du kan hjælpe ved at angive troværdige

Rotationsmekanik

Rotationsmekanik
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az
image Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Rotationsmekanik er inden for fysik studiet af roterende systemer. Området er motiveret af, at roterende legemer har egenskaber, som ikke kan beskrives med mere traditionel lineær mekanik.

image
En kugle drejer om sin akse, men den bliver samme sted.

For at forstå rotationsmekanik kan der tages udgangspunkt i en kugle, som roterer omkring sin egen akse. Kuglen bevæger sig tydeligvis, men dens samlede hastighed er nul. Måske begynder kuglen også at dreje hurtigere rundt, men alligevel er den samlede kraft på kuglen nul. Der er altså brug for nogle nye fysiske størrelser til at beskrive kuglen.

Klassisk mekanik

image Hovedartikel: Klassisk mekanik.

I dette afsnit beskrives rotationsmekanikken inden for klassiske mekanik. Først ses der på en - det vil sige, at den ikke har noget volumen og dermed kun findes i et enkelt punkt - og derefter på roterende legemer med volumen. Bemærk i det følgende at intet er grundlæggende ny fysik, men udledes fra kendte fysiske størrelser.

Punktpartikel

Egentlig findes punktpartikler ikke, men i mange systemer kan et legeme approksimeres som et enkelt punkt. Fx kan Jorden i sit kredsløb om Solen i høj grad behandles som en punktpartikel, da kredsløbet er meget større end Jorden.

Kinematik

image Hovedartikel: Kinematik.
image
En punktpartikel bevæger sig om origo.

En bevæger sig jævnt i en cirkel i to dimensioner omkring et punkt (origo).

Kinematiske størrelser for rotation

Partiklens position kan nu beskrives med afstanden r{\displaystyle r}image, som er konstant, samt vinklen θ{\displaystyle \theta }image. Da partiklen bevæger sig, ændrer vinklen sig. Man kan altså definere vinkelhastigheden ω{\displaystyle \omega }image som ændringen i vinklen over tid t{\displaystyle t}image.

ω=dθdt{\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}image

Hvis partiklen bevæger sig hurtigere og hurtigere rundt, kaldes det for vinkelaccelerationen α{\displaystyle \alpha }image og defineres tilsvarende:

α=dωdt{\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}image

Det følger, at vinkelaccelerationen må være den anden afledte af vinklen:

α=d2θdt2{\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}}image

Relation til lineær kinematik

Det ses, at disse størrelser altså blot er rotationens svar på den lineære position x→{\displaystyle {\vec {x}}}image, hastighed v→{\displaystyle {\vec {v}}}image og acceleration a→{\displaystyle {\vec {a}}}image. De to beskrivelser kan desuden relateres til hinanden. Fra trigonometrien vides det, at x→{\displaystyle {\vec {x}}}image kan beregnes ud fra cosinus og sinus:

x→=r(cos⁡(θ)sin⁡(θ)){\displaystyle {\vec {x}}=r{\cos(\theta ) \choose \sin(\theta )}}image

Hastigheden findes ved at differentiere dette udtryk:

v→=dx→dt=r(−sin⁡(θ)dθdtcos⁡(θ)dθdt)=r(−sin⁡(θ)ωcos⁡(θ)ω)=rω(−sin⁡(θ)cos⁡(θ)){\displaystyle {\vec {v}}={\frac {{\text{d}}{\vec {x}}}{{\text{d}}t}}=r{-\sin(\theta ){\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}} \choose \cos(\theta ){\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}=r{-\sin(\theta )\omega \choose \cos(\theta )\omega }=r\omega {-\sin(\theta ) \choose \cos(\theta )}}image

hvor det antager, at r{\displaystyle r}image er konstant. For den absolutte værdi, dvs. farten v{\displaystyle v}image, gælder altså:

v=rω{\displaystyle v=r\omega }image

eller

ω=vr{\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}image

 

 

 

 

(1)

Vinkelhastigheden falder altså med afstanden til origo. Dette skyldes, at partiklen derved får en større omkreds at bevæge sig på.

Endelig er accelerationen givet ved:

a→=dv→dt=rω(−cos⁡(θ)dθdt−sin⁡(θ)dθdt)+rdωdt(−sin⁡(θ)cos⁡(θ))=−rω2(cos⁡(θ)sin⁡(θ))+rα(−sin⁡(θ)cos⁡(θ)){\displaystyle {\vec {a}}={\frac {{\text{d}}{\vec {v}}}{{\text{d}}t}}=r\omega {-\cos(\theta ){\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}} \choose -\sin(\theta ){\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}+r{\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}{-\sin(\theta ) \choose \cos(\theta )}=-r\omega ^{2}{\cos(\theta ) \choose \sin(\theta )}+r\alpha {-\sin(\theta ) \choose \cos(\theta )}}image

Det ses, at accelerationen har to led. Det første led står vinkelret på partiklens bevægelsesretning, og holder den i dens cirkulære bane. Det andet led er langs med partiklens bevægelsesretning (tangentiel) og øger partiklens fart.

Den absolutte acceleration er dermed:

a=(rω2)2+(rα)2{\displaystyle a={\sqrt {(r\omega ^{2})^{2}+(r\alpha )^{2}}}}image

Vinkelaccelerationen er altså:

α=a2−(rω2)2r{\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {a^{2}-(r\omega ^{2})^{2}}}{r}}}image

Hvis der kun er tangentiel acceleration, reducerer udtrykket til:

α=ar{\displaystyle \alpha ={\frac {a}{r}}}image

Ligesom ved vinkelhastigheden er der et fald med afstanden.

Det er nu lykkedes at opstille kinematiske størrelser, som er mere passende til at beskrive rotation. Det er derfor tid til at fortsætte med de dynamiske størrelser.

Dynamik

image Hovedartikel: Dynamik.
Rotationsenergi

Energien i en rotation kan findes med udgangspunkt i det lineære udtryk for kinetisk energi Ekin{\displaystyle E_{\text{kin}}}image:

Ekin=12mv2{\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}image

For det roterende tilfælde er energien den samme, men farten kan i stedet udtrykkes med vinkelhastigheden (lign. 1):

Erot=12mr2ω2{\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}}image

Des ses, at rotationsenergien er proportional med vinkelhastigheden i anden, ligesom den kinetiske energi er proportional med farten i anden. Der er desuden en faktor en halv i begge udtryk. Dog står der nu et nyt udtryk på massens plads. Dette er den rotationelle masse og kaldes inertimomentet. Inertimomentet I{\displaystyle I}image for en punktpartikel er altså givet ved:

I=mr2{\displaystyle I=mr^{2}}image

Rotationsenergien kan derfor skrives som:

Erot=12Iω2{\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}image

Derved er den kinetiske energi blevet udtrykt vha. rotationelle termer.

Impulsmoment og kraftmoment

For at beskrive rotationsdynamik er det nødvendigt at definere størrelser, der kan erstatte impuls p→{\displaystyle {\vec {p}}}image, kraft F→{\displaystyle {\vec {F}}}image og masse m{\displaystyle m}image. Impuls er givet ved:

p→=mv→{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}image

mens kraft er givet ved Newtons anden lov:

F→=ma→{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}image

eller mere generelt blot som den afledte af impulsen mht. tid:

F→=dp→dt{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {{\text{d}}{\vec {p}}}{{\text{d}}t}}}image

For at starte med impulsen blev det vist for rotationsenergien, at hastighed kan erstattes med vinkelhastighed, og at masse kan erstattes med inertimoment. Det er derfor oplagt at udtrykke et såkaldt impulsmoment som:

L=Iω=mr2ω{\displaystyle L=I\omega =mr^{2}\omega }image

Dette er det samme som at gange r{\displaystyle r}image med den tangentielle impuls:

L=rp{\displaystyle L=rp}image

Vektorstørrelserne r→{\displaystyle {\vec {r}}}image og p→{\displaystyle {\vec {p}}}image kan ganges samme som enten et prikprodukt eller et krydsprodukt. Hvis prikproduktet vælges, vil L{\displaystyle L}image være størst, når r→{\displaystyle {\vec {r}}}image og p→{\displaystyle {\vec {p}}}image er parallelle. Det vil dog svare til et legeme, der bevæger sig væk fra eller hen imod origo, hvilket ikke er en rotation. Derfor bruges krydsproduktet i den fulde definition på impulsmomentet L→{\displaystyle {\vec {L}}}image:

L→=r→×p→{\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}image

På den måde peger impulsmomentet i rotationsaksens retning og er størst, når r→{\displaystyle {\vec {r}}}image og p→{\displaystyle {\vec {p}}}image er ortogonale.

Den rotationelle version af kraft kan findes hurtigt ved at differentiere impulsmomentet. Den størrelse kaldes for kraftmomentet τ→{\displaystyle {\vec {\tau }}}image:

τ→=dL→dt=L→=dr→dt×p→+r→×dp→dt=v→×p→+r→×F→{\displaystyle {\vec {\tau }}={\frac {{\text{d}}{\vec {L}}}{{\text{d}}t}}={\vec {L}}={\frac {{\text{d}}{\vec {r}}}{{\text{d}}t}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {{\text{d}}{\vec {p}}}{{\text{d}}t}}={\vec {v}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\vec {F}}}image

Hastighed og impuls peger altid i samme retning, og første led er derfor nul. Kraftmomentet er altså givet ved:

τ→=r→×F→{\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}image

Det ses, at kraftmomentet er nul, hvis der ikke er nogen tangentiel kraft. Uden ydre påvirkning - dvs. for et isoleret system - er impulsmomentet altså altid en bevaret størrelse.

τ→=dL→dt=0{\displaystyle {\vec {\tau }}={\frac {{\text{d}}{\vec {L}}}{{\text{d}}t}}=0}image

Dette viser, at definitionen var velvalgt. Ved at have en bevaret størrelse er det muligt at forudsige et fysisk systems fremtidige tilstand.

Størrelsen på kraftmomentet kan tilsvarende udtrykkes:

τ=Iα{\displaystyle \tau =I\alpha }image

For at forstå betydningen af begreberne impulsmoment og kraftmoment kan man fx tænke på en skøjteløber.

image
Når en skøjteløber trækker armene til sig, falder inertimomentet, mens impulsmomentet er bevaret. Derfor begynder skøjteløberen at rotere hurtigere.

Når skøjteløberen snurrer rundt i luften eller friktionsløst på isen, påvirkes vedkommende ikke af nogen kraftmomenter, og impulsmomentet må derfor være bevaret. Når skøjteløberen trækker armene ind til sig, vil inertimomentet dog falde, og vinkelhastigheden må derfor tilsvarende stige for at holde impulsmomentet. Således kan skøjteløberer snurre hurtigere rundt uden at skubbe.

Roterende legemer

image Uddybende artikel: Inertimoment

Det er nu tid til at se på legemer, der har en udstrækning i rummet.

Et roterende legeme kan ses som bestående af en masse små punktpartikler, der alle har forskellig afstand til rotationsaksen og evt. også forskellig masse, hvis legemets massedensitet ikke er uniform. For N{\displaystyle N}image partikler, der udgør et roterende legeme, må rotationsenergien Erot{\displaystyle E_{\text{rot}}}image være:

Erot=12(m1r12+m2r22+...mNrN2)ω2{\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}(m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+...m_{N}r_{N}^{2})\omega ^{2}}image

eller mere kompakt:

Erot=12(∑i=1Nmiri2)ω2{\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}\right)\omega ^{2}}image

Denne sum må altså være inertimomentet for et roterende legeme:

I=∑i=1Nmiri2{\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}}image

Her ses punktpartiklerne som diskrete enheder. For det kontinuere tilfælde må man integrere over masserne:

I=∫r2dm{\displaystyle I=\int r^{2}\mathrm {d} m}image

Hvis et infinitesimalt volumen dV{\displaystyle \mathrm {d} V}image har massedensiteten ρ{\displaystyle \rho }image, har man:

dm=ρdV{\displaystyle \mathrm {d} m=\rho \mathrm {d} V}image

Og dermed:

I=∫ρr2dV{\displaystyle I=\int \rho r^{2}\mathrm {d} V}image

hvor der altså integreres over hele det roterende legemes volumen.

Kildehenvisninger

  1. "2.4 Rotationsmekanik", Orbit A, Systime A/S, ISBN 9788761657886, hentet 20. oktober 2019 (Webside ikke længere tilgængelig)

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: December 27, 2024, 12:35 pm
De fleste læses
  • Kan 15, 2025

    Frederik 2. af Baden

  • Kan 13, 2025

    Freden i Wien (1864)

  • Kan 16, 2025

    Freden i Rijswijk

  • Kan 16, 2025

    Freden i Fredrikshamn

  • Kan 16, 2025

    Fredningsplan

Daglige
  • Per Pallesen

  • Riget

  • Afdeling Q

  • 1864 (tv-serie)

  • Bodilprisen

  • Østrig i Eurovision Song Contest

  • Eurovision Song Contest 2025

  • JJ (sanger)

  • Aabenraa

  • Pave Leo 14.

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top