Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

Denne artikel omhandler den klassiske idealgas For andre idealgasser se Idealgassen er en idealiseret model der kan brug

Ideel gas

Ideel gas
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az
image Denne artikel omhandler den klassiske idealgas. For andre idealgasser, se .

Idealgassen er en idealiseret model, der kan bruges på mange virkelige gasser. En idealgas består af mikroskopiske partikler, jf. den kinetiske gasteori, hvis kinetiske energi udgør gassens indre energi. Flere af de makroskopiske størrelser i idealgassen er relaterede vha. idealgasligningen.

image
En idealgas består af punktformede partikler.

Antagelser og anvendelighed

For den ideale gas antages det, at den består af punktformede partikler, der kan bevæge sig i tre dimensioner. Partiklerne kan støde ind i hinanden ved fuldstændigt elastiske kollisioner, men interagerer ellers ikke, og der er således ikke nogen potentiel energi. Den kinetiske energi beregnes klassisk, så modellen tager ikke højde for relativistiske effekter.

Idealgassen er altså mest præcis som model ved:

  • Høje temperaturer: Ved høje temperaturer har gasmolekylerne så høj kinetisk energi Ekin{\displaystyle E_{\text{kin}}}image, at den potentielle energi Epot{\displaystyle E_{\text{pot}}}image, der kommer af interaktionen mellem molekylerne, er meget mindre:
Epot≪Ekin{\displaystyle E_{\text{pot}}\ll E_{\text{kin}}}image
  • Lavt tryk: Ved lavt tryk er der så stor afstand mellem molekylerne, at man kan se bort fra molekylernes Vmol{\displaystyle V_{\text{mol}}}image.
Vmol≪VnNA{\displaystyle V_{\text{mol}}\ll {\frac {V}{nN_{A}}}}image.
  • Ikke-relativistiske hastigheder: Hvis partiklernes hastighed v{\displaystyle v}image kommer tæt på lysets hastighed c{\displaystyle c}image, skal der tager højde for relativistisk mekanik, hvilket gøres for relativistiske gasser.
v≪c{\displaystyle v\ll c}image

Modellen tager heller ikke højde for faseovergange, da en idealgas ikke kan kondensere og blive til en væske; i så fald skal andre modeller såsom van der Waals-gassen tages i brug.. I en idealgas er kvantemekaniske effekter ligeledes fraværende.

På trods af begrænsningerne er idealgassen dog en simpel og praktisk model, der kan bruges til at forstå varmekraftmaskiner. Den bruges også inden for astrofysik og såsom i den barometriske højdeformel.

Kinetisk og indre energi

image Uddybende artikel: Maxwell-Boltzmann-fordelingen

Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden, er partiklernes energi blot deres kinetiske energi Ekin{\displaystyle E_{\text{kin}}}image givet ved:

Ekin=12mv→2{\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}}image

hvor m{\displaystyle m}image er en partikels masse, og v→{\displaystyle {\vec {v}}}image er hastigheden. Det kan vises, at partiklernes hastighed er Maxwell-Boltzmann-fordelt, og den gennemsnitlige kinetiske energi for en partikel er derfor også givet ved:

⟨Ekin⟩=32kBT{\displaystyle \langle E_{\text{kin}}\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\text{B}}T}image

hvor kB{\displaystyle k_{\text{B}}}image er Boltzmanns konstant, og T{\displaystyle T}image er temperaturen. Energien er altså proportional med temperaturen, hvilket stemmer overens med den brede forståelse af temperatur.

Den samlede energi for hele gassen - dvs. den indre energi U{\displaystyle U}image - er nu blot den gennemsnitlige kinetiske energi gange antallet af partikler N{\displaystyle N}image:

U=N⟨Ekin⟩=32NkBT{\displaystyle U=N\langle E_{\text{kin}}\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{\text{B}}T}image

Dette kan også udtrykkes vha. stofmængde n{\displaystyle n}image:

U=32nRT{\displaystyle U={\frac {3}{2}}nRT}image

hvor Boltzmanns konstant er erstattet af gaskonstanten R{\displaystyle R}image.

Idealgasligningen

image Uddybende artikel: Idealgasligning
image
Oprindeligt blev idealgasligningen fundet ved at kombinere flere empiriske love.

I en beholder vil sammenstød mellem partikler og beholderens vægge blive målt som et tryk p{\displaystyle p}image på makroskopisk niveau. Siden temperaturen er relateret til kinetisk energi, kan det vises, at den også er relateret til tryk og volumen V{\displaystyle V}image ved:

pV=nRT{\displaystyle pV=nRT}image

Dette er idealgasligningen. Ligningen blev oprindeligt udledt vha. forsøg på virkelige gasser, hvilket viser idealgassens anvendelighed som model.

Varmekapacitet

Varmekapaciteterne - hvor meget varme, der skal tilføres, for at hæve temperaturen - for konstant volumen CV{\displaystyle C_{V}}image og konstant tryk Cp{\displaystyle C_{p}}image er generelt givet ved:

CV=(∂U∂T)VCp=CV+[(∂U∂V)T+p](∂V∂T)p{\displaystyle {\begin{aligned}C_{V}&=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}\\C_{p}&=C_{V}+\left[\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}+p\right]\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\end{aligned}}}image

For en idealgas bliver den første:

CV=∂∂T(32nRT)=32nR{\displaystyle C_{V}={\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {3}{2}}nRT\right)={\frac {3}{2}}nR}image

Varmekapaciteten er altså proportional med gaskonstanten.

Ved konstant tryk kan det anvendes, at den indre energi ikke kan ændre sig, hvis temperaturen er konstant:

(∂U∂V)T=0{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=0}image

Vha. idealgasligningen kan den afledte til volumenet med hensyn til temperatur ved konstant tryk skrives som:

(∂V∂T)p=∂∂T(nRTp)=nRp{\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {nRT}{p}}\right)={\frac {nR}{p}}}image

Varmekapaciteten ved konstant tryk er derfor:

Cp=CV+[0+p]nRpCp=32nR+nRCp=52nR{\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&=C_{V}+\left[0+p\right]{\frac {nR}{p}}\\C_{p}&={\frac {3}{2}}nR+nR\\C_{p}&={\frac {5}{2}}nR\end{aligned}}}image

Adiabateksponenten er derfor:

γ=CpCV=CpCV=52nR32nR{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}={\frac {C_{p}}{C_{V}}}={\frac {{\frac {5}{2}}nR}{{\frac {3}{2}}nR}}}image

og altså:

γ=53{\displaystyle \gamma ={\frac {5}{3}}}image

Termodynamiske processer

En idealgas kan udsættes for termodynamiske processer og kan derfor bruges til at modellere varmekraftmaskiner.

Isoterm proces

image
Et pV-diagram med isotermer for en idealgas ved konstant stofmængde. Jo højere temperatur, jo længere ligger kurverne fra origo.

For en isoterm proces er temperaturen konstant, hvilket gør hele højresiden i idealgasligningen til en konstant:

pV=k{\displaystyle pV=k}image

For en isoterm kompression er tryk og volumen altså omvendt proportionale:

p∝1V{\displaystyle p\propto {\frac {1}{V}}}image

Da den indre energi kun afhænger af temperatur, ændrer den sig ikke

ΔU=0{\displaystyle \Delta U=0}image

og den tilførte varme udlignes derfor af arbejdet

ΔQ=−ΔW{\displaystyle \Delta Q=-\Delta W}image

Arbejdet er givet ved

ΔW=−∫V1V2pdV{\displaystyle \Delta W=-\int _{V_{1}}^{V_{2}}p\mathrm {d} V}image

Trykket er omvendt proportionalt med volumenet, så integralet er:

ΔW=−nRT∫V1V21VdV=nRTln⁡V1V2{\displaystyle \Delta W=-nRT\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {1}{V}}\mathrm {d} V=nRT\ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}image

Varmen er dermed:

ΔQ=nRTln⁡V2V1{\displaystyle \Delta Q=nRT\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}image

Det ses, at gassen modtager varme under en ekspansion, men mister varme under en kompression.

Isobar proces

image
Volumen og temperatur er proportionale, når trykket holdes kostant. Jo højere tryk, jo mindre er hældningen.

For en isobar proces er trykket konstant, hvilket betyder, at volumen og temperatur er proportionale:

V∝T{\displaystyle V\propto T}image

Arbejdet er

ΔW=−pΔV{\displaystyle \Delta W=-p\Delta V}image

mens ændringen indre energi er

ΔU=32pΔV{\displaystyle \Delta U={\frac {3}{2}}p\Delta V}image

Varmen er tilsvarende:

ΔQ=ΔU−ΔW=32pΔV+pΔ=52pΔV{\displaystyle \Delta Q=\Delta U-\Delta W={\frac {3}{2}}p\Delta V+p\Delta ={\frac {5}{2}}p\Delta V}image

Pga. varmetab mister gassen altså energi, når den pressen sammen. Dette gør den for at undgå, at trykket stiger. Vha. udtrykket for indre energi, kan dette også skrives som

ΔQ=52nRΔT{\displaystyle \Delta Q={\frac {5}{2}}nR\Delta T}image

Det ses, at faktoren foran temperaturændringen er Cp{\displaystyle C_{p}}image, hvilket var forventeligt.

Adiabatisk proces

Under en adiabatisk proces bliver der ikke overført nogen varme:

δQ=0{\displaystyle \delta Q=0}image

Differentialet for den indre energi er derfor blot:

dU=δW=−pdV{\displaystyle dU=\delta W=-p\mathrm {d} V}image

Men differentialet kan også skrives som:

dU=32nRdT{\displaystyle dU={\frac {3}{2}}nR\mathrm {d} T}image

Disse to udtryk sætter lig hinanden, og trykket erstattes vha. idealgasligningen:

=−nRTVdV=32nRdT{\displaystyle =-{\frac {nRT}{V}}\mathrm {d} V={\frac {3}{2}}nR\mathrm {d} T}image

De variable separeres, og faktorer flyttes til venstre side:

−231VdV=1TdT{\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\frac {1}{V}}\mathrm {d} V={\frac {1}{T}}\mathrm {d} T}image
image
En adibatisk proces sammenlignet med isotermer. Det ses, at trykket falder hurtigere med volumen, når ekspansionen er adiabatisk.

Begge sider integreres:

−23∫V1V21VdV=∫T1T21TdT23ln⁡V1V2=ln⁡T2T1ln⁡((V1V2)23)=ln⁡T2T1(V1V2)23=T2T1T1V123=T2V223{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {2}{3}}\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {1}{V}}\mathrm {d} V&=\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\frac {1}{T}}\mathrm {d} T\\{\frac {2}{3}}\ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}&=\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\\\ln \left(\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}\right)&=\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\\\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}&={\frac {T_{2}}{T_{1}}}\\T_{1}V_{1}^{\frac {2}{3}}&=T_{2}V_{2}^{\frac {2}{3}}\end{aligned}}}image

Det ses, at eksponenten er relateret til adiabateksponentet ved:

23=γ−1{\displaystyle {\frac {2}{3}}=\gamma -1}image

Så for en adiabatisk proces gælder bevarelsesloven:

TVγ−1=k{\displaystyle TV^{\gamma -1}=k}image

Med idealgasligningen kan temperatur også erstattes med tryk:

pVnRVγ−1=k{\displaystyle {\frac {pV}{nR}}V^{\gamma -1}=k}image

Der gælder altså tilsvarende for tryk og volumen:

pVγ=k{\displaystyle pV^{\gamma }=k}image

eller

p∝1Vγ{\displaystyle p\propto {\frac {1}{V^{\gamma }}}}image

Adiabateksponenten er større end 1, så i et pV-diagram er kurven for en adiabatisk proces stejlere end for en isoterm proces.

Isometrisk proces

image
For en idealgas er trykket proportionalt med temperatur, når volumenet er konstant.

For en isometrisk proces er volumenet konstant, hvilket betyder, at tryk og temperatur er proportionale:

p∝T{\displaystyle p\propto T}image

Hvis en lukket beholder opvarmes, vil trykket i den altså stige.

Der kan ikke udføres volumenarbejde:

δW=−pdV=0{\displaystyle \delta W=-p\mathrm {d} V=0}image

så varmeoverførslen er lig med ændringen i indre energi

ΔQ=ΔU{\displaystyle \Delta Q=\Delta U}image

Ved at indsætte den indre energi er varmen relateret til temperaturændringen ved:

ΔQ=32nRΔT{\displaystyle \Delta Q={\frac {3}{2}}nR\Delta T}image

Det ses, at faktoren er lig med CV{\displaystyle C_{V}}image som forventet. Vha. idealgasligningen kan varmen alternativ udtrykkes som:

ΔQ=32VΔp{\displaystyle \Delta Q={\frac {3}{2}}V\Delta p}image

Kildehenvisninger

  1. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "1.3 The ideal gas". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 6-7. ISBN 978-0-19-856770-7.
  2. Cengel, Yunus A.; Boles, Michael A. Thermodynamics: An Engineering Approach (4th udgave). s. 89. ISBN 0-07-238332-1.
  3. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "26.1 The van der Waals gas". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 280-288. ISBN 978-0-19-856770-7.
  4. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "4.7 Applications of the Boltzmann distribution". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 41-42. ISBN 978-0-19-856770-7.
  5. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "5.2 The speed distribution". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 47-48. ISBN 978-0-19-856770-7.
  6. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "11.3 Heat capacity". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 109-110. ISBN 978-0-19-856770-7.
  7. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "6.2 The ideal gas law". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 56-57. ISBN 978-0-19-856770-7.
  8. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "13.2 The Carnot engine". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 123-125. ISBN 978-0-19-856770-7.
  9. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "12.2 Isothermal expansion of an ideal gas". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 116. ISBN 978-0-19-856770-7.
  10. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "12.3 Adiabatic expansion of an ideal gas". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 117. ISBN 978-0-19-856770-7.

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: Marts 01, 2025, 05:00 am
De fleste læses
  • Kan 11, 2025

    Kiselalger

  • Kan 10, 2025

    Kinnared

  • Kan 15, 2025

    Kina (flertydig)

  • Kan 08, 2025

    Kilså

  • Kan 09, 2025

    Kilowatt-time per år

Daglige
  • Skuespiller

  • Svend Gønge

  • 1864 (tv-serie)

  • Vikings (tv-serie)

  • Søren Pilmark

  • JJ (sanger)

  • Kassøværket

  • E-metanol

  • Pave

  • Natly

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top