Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

Schrödingers ligning blev foreslået i 1925 af den østrigske fysiker Erwin Schrödinger Den beskriver hvordan kvantemekani

Schrödingers ligning

Schrödingers ligning
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az

Schrödingers ligning blev foreslået i 1925 af den østrigske fysiker Erwin Schrödinger. Den beskriver hvordan kvantemekaniske systemer ændrer sig over tid. Ligningen er af stor vigtighed i kvantemekanikken, hvor den indtager en rolle svarende til Newtons love i den klassiske mekanik. Ligningen kan ved korrektioner også inkludere relativistiske effekter, mens mere grundlæggende studier er nødt til at bruge den relativistiske Dirac-ligning.

Kvantemekanik

 •  • Historie

Baggrund
Bra-ket notation

 •  •  • Interferens  • Klassisk mekanik

Grundlæggende koncepter
Atommodel

 • Bølgefunktion  • CPT-teoremet  • Bølgefunktionens kollaps  •  •  •  •  • Måling  • Sammenfiltring  • Spin  • Superposition  • Tunnelering  • Kvantespring  • Kvanteteleportation  •  • Partikel-bølge-dualitet  • Partikel i en boks  • Paulis udelukkelsesprincip  •  • Ubestemthed  • Virtuel partikel

Eksperimenter
Bells tests

 • Bose-Einstein-kondensat  • Dobbeltspalte  •  • Kvante Hall-effekten  •  • Stern–Gerlach

Born-Oppenheimer

 • Hartree-Fock  •  •  •  •  •  •

Ligninger
Dirac

 • Klein–Gordon  •  • Rydberg  • Schrödinger

 • Københavnerfortolkningen

 • de Broglie–Bohm  •  •  • Schrödingers kat

Avancerede emner
Dc-squid

 • Degenereret stof  • Josephson-kontakt  • Kvantecomputer  • Kvanteelektrodynamik  • Kvantefeltteori  •  • Kvantekemi  • Kvantekromodynamik  • Kvanteoptik  •  •  • Kvanteø  • Kvasipartikel  • Rapid single flux quantum  • Resonanstunneldiode  • Resonanstunneltransistor  • Single electron transistor  •  • Tunneldiode  •

Videnskabsmænd
Bell

 • Bogoljubov  • Bohm  • Bohr  • Born  • Bose  • de Broglie  • Compton  • Dirac  • Debye  • Ehrenfest  • Einstein  • Everett  • Fock  • Fermi  • Feynman  • Heisenberg  • Hilbert  •  •  • von Neumann  • Pauli  • Lamb  • Laue  • Planck  • Raman  • Rydberg  • Schrödinger  • Sommerfeld  • Weyl  • Wigner  • Zeeman  • Zeilinger

  • v
  • d
  • r

Den tidsafhængige ligning

I den matematiske formulering af kvantemekanikken er ethvert fysisk system associeret med et komplekst Hilbertrum således at enhver tilstand af systemet er beskrevet ved en enhedsvektor i Hilbertrummet. Denne tilstandsvektor beskriver sandsynlighederne for udfaldet af alle mulige målinger på systemet. Da et systems tilstand ofte ændrer sig over tid er tilstandsvektoren en funktion af tiden. Schrödingers ligning giver en kvantitativ beskrivelse af hvordan tilstandsvektoren ændrer sig. F.eks. kan tilstandsvektoren beskrive sandsynligheden for at finde en partikel et bestemt sted i rummet til et givet tidspunkt. Schrödinger-ligningen beskriver så, hvordan sandsynligheden for at finde partiklen bestemte steder ændrer sig med tiden.

Ved brug af Diracs bra-ket notation skrives tilstandsvektoren med positionen x→{\displaystyle {\vec {x}}}image til tiden t{\displaystyle t}image som |Ψ(x→,t)⟩{\displaystyle |\Psi ({\vec {x}},t)\rangle }image. Schrödinger-ligningen skrives så som:

H^|Ψ(x→,t)⟩=iℏ∂∂t|Ψ(x→,t)⟩{\displaystyle {\hat {H}}\left|\Psi ({\vec {x}},t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi ({\vec {x}},t)\right\rangle }image

hvor i{\displaystyle i}image er den imaginære enhed, ℏ{\displaystyle \hbar }image er Plancks konstant divideret med 2π{\displaystyle 2\pi }image og Hamiltonoperatoren H^{\displaystyle {\hat {H}}}image er en operator, som virker på bølgefunktionen og beskriver den totale energi i systemet. Ligesom med kraften som optræder i Newtons anden lov er dens eksakte form ikke givet ud fra Schrödingers ligning, men må uafhængigt af ligningen bestemmes ud fra de fysiske egenskaber ved systemet.

Den tidsafhængige Schrödinger ligning ser således ud:

iℏ∂Ψ∂t=H^Ψ=(−ℏ22m∇2+V(x→))Ψ{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi =\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {x}})\right)\Psi }image

hvor m{\displaystyle m}image er massen på partiklen, V{\displaystyle V}image er potentialet, og ∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}image er Laplace-operatoren.

Den tids-uafhængige ligning

Schrödinger-ligningen er bl.a. udfordrende at løse, fordi bølgefunktionen afhænger af både position og tid. Dette kan dog løses vha. separation af de variable. Det antages, at bølgefunktionen kan skrives som produktet af en positionsafhængig funktion ψ(x→){\displaystyle \psi ({\vec {x}})}image og en tidsafhængig funktion ϕ(t){\displaystyle \phi (t)}image:

Ψ(x→,t)=ψ(x→)ϕ(t){\displaystyle \Psi ({\vec {x}},t)=\psi ({\vec {x}})\phi (t)}image

Derved bliver Schrödinger-ligningen

H^ψ(x→)ϕ(t)=iℏ∂∂t(ϕ(t))ψ(x→){\displaystyle {\hat {H}}\psi ({\vec {x}})\phi (t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\phi (t)\right)\psi ({\vec {x}})}image

Så længe Hamilton-operatoren ikke er tidsafhængig, har den ikke nogen effekt på ϕ(t){\displaystyle \phi (t)}image, som der derfor kan divideres med på begge sider:

H^ψ(x→)=iℏ∂∂t(ϕ(t))ϕ(t)ψ(x→){\displaystyle {\hat {H}}\psi ({\vec {x}})={\frac {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\phi (t)\right)}{\phi (t)}}\psi ({\vec {x}})}image

Venstresiden er nu fuldstændig tidsuafhængig, og højresiden må derfor også være tidsuafhængig. Dvs. at brøken - der ikke er positionsafhængig - må være en konstant E{\displaystyle E}image:

E=iℏ∂∂t(ϕ(t))ϕ(t){\displaystyle E={\frac {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\phi (t)\right)}{\phi (t)}}}image

Derved er en tids-uafhængig Schrödinger-ligning blevet formuleret:

H^ψ(x→)=Eψ(x→){\displaystyle {\hat {H}}\psi ({\vec {x}})=E\psi ({\vec {x}})}image

Ligningen for ϕ(t){\displaystyle \phi (t)}image er simplere:

∂ϕ(t)∂t=−iEℏϕ(t){\displaystyle {\frac {\partial \phi (t)}{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\phi (t)}image

Løsningen er en kompleks eksponential-funktion:

ϕ(t)=e−iEtℏ{\displaystyle \phi (t)=\mathrm {e} ^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}}image

Når den tidsuafhængig Schrödinger-ligning er blevet løst, skal denne faktor altså blot ganges på for at få den fulde løsning. Forventningsværdien for energien er nu givet ved:

⟨H⟩=⟨ψ|H^|ψ⟩=E⟨ψ|ψ⟩=E{\displaystyle \left\langle H\right\rangle =\left\langle \psi \right|{\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left\langle \psi |\psi \right\rangle =E}image

hvor det er anvendt, at bølgefunktionerne er normerede. Konstanten E{\displaystyle E}image er altså systemets gennemsnitlige energi for en given tilstand.

Motivation

Schrödinger-ligningen blev oprindeligt ikke udledt vha. en mere fundamental teori, da en sådan ikke eksisterede. I stedet formulerede Erwin Schrödinger ligningen, så den ville stemme overens med datidens kendskab til kvantefysik. Den franske fysiker Louis de Broglie postulerede i 1924, at ikke kun fotoner har en bølgelængde og frekvens, men også massive partikler såsom elektroner. Jf. Max Plancks kvantiseringsteori er en fotons energi E{\displaystyle E}image proportional med frekvensen ω{\displaystyle \omega }image, og de Broglie postulerede derfor samme sammenhæng:

E=ℏω{\displaystyle E=\hbar \omega }image

Ifølge de Broglies relation er impulsen derimod proportional med bølgetallet:

p=ℏk{\displaystyle p=\hbar k}image

Hvis en partikel opfører sig som en , kan den i én dimension skrives som:

Ψ(x,t)=Ψ0ei(kx−ωt){\displaystyle \Psi (x,t)=\Psi _{0}e^{i(kx-\omega t)}}image

Den partielle afledte med hensyn til t{\displaystyle t}image er da:

∂Ψ∂t=−iωΨ{\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega \Psi }image

Frekvensen kan derefter omkrives vha. de Broglies udtryk for energien

∂Ψ∂t=−iEℏΨ{\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi }image

Dette omarrangeres:

iℏ∂∂tΨ=EΨ{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi }image

På venstresiden virker altså en differentialoperator og et par konstante faktorer på bølgefunktionen. På højresiden optræder den samme bølgefunktion med energien som faktor. Ud fra dette kan Hamilton-operatoren H^{\displaystyle {\hat {H}}}image defineres

H^=iℏ∂∂t{\displaystyle {\hat {H}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}image

der altså har energien som egenværdi. Dermed er Schrödinger-ligningen i den meste generelle form blevet motiveret:

H^Ψ=iℏ∂∂tΨ{\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }image

For at løse et givent fysisk system skal en passende Hamilton-operator altså opstilles. En ikke-relativistisk har fx en klassisk Hamilton H{\displaystyle H}image, som blot er lig med den kinetiske energi T{\displaystyle T}image, der er givet ved impulsen p{\displaystyle p}image i anden divideret med 2 gange massen:

H=T=p22m{\displaystyle H=T={\frac {p^{2}}{2m}}}image

For at gå fra denne klassiske Hamilton til en kvantiseret Hamilton-operator, differentieres den plane bølge mht. x{\displaystyle x}image, og de Broglies udtryk for bølgetallet indsættes:

∂Ψ∂x=ikΨ∂Ψ∂x=ipℏΨ−iℏ∂∂xΨ=pΨ{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}&=ik\Psi \\{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}&=i{\frac {p}{\hbar }}\Psi \\-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi &=p\Psi \end{aligned}}}image

Dermed kan en impuls-operator p^{\displaystyle {\hat {p}}}image defineres:

p^=−iℏ∂∂x{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}image

hvor impulsen er operatorens egenværdi. Denne impuls-operator indsættes nu på impulsens plads i Hamiltonen for at få et udtryk for Hamilton-operatoren:

H^=T^=−ℏ22m∂2∂x2{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}image

Dermed bliver Schrödinger-ligningen for en ikke-relativistisk partikel altså:

−ℏ22m∂2∂x2Ψ=iℏ∂∂tΨ{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }image

I tre dimensioner bliver den anden afledte mht. x{\displaystyle x}image til Laplace-operatoren:

−ℏ22m∇2Ψ=iℏ∂∂tΨ{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }image

Ved at sammenholde de Broglies relationer med klassisk mekanik er det altså blevet retfærdiggjort, hvorfor Schrödinger-ligningen burde passe.

Kildehenvisninger

  1. Griffiths, David J. "The Schrödinger Equation", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 1-2. ISBN 978-1-292-02408-0.
  2. Griffiths, David J. "Stationary states", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 25-28. ISBN 978-1-292-02408-0.
  3. "The Nobel Prize in Physics 1929: Louis de Broglie - Facts". nobelprize.org, Nobel Media AB 2014. Hentet 2. marts 2017.
  4. Nave, Carl Rod. "Free particle approach to the Schrodinger equation" (engelsk). . Hentet 1. januar 2021.


imageSpire
Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: December 10, 2024, 03:52 am
De fleste læses
  • Kan 13, 2025

    Jens Jacob Asmussen Worsaae

  • Kan 21, 2025

    Jens Christian Rostgaard von der Maase

  • Kan 14, 2025

    Jens Christian Christensen (1906-1982)

  • Kan 22, 2025

    Jens Andersen Beldenak

  • Kan 20, 2025

    Jens Aage Marstrand

Daglige
  • Doctor Who

  • Doctor Who

  • BBC

  • Torchwood

  • Trumps ønske om at erhverve Grønland

  • Eurovision Song Contest 2025

  • Sissal

  • Novo Nordisk

  • Lars Fruergaard Jørgensen

  • Zakarpatska oblast

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top