Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

For alternative betydninger se Række Se også artikler som begynder med Række En række repræsenterer i matematikken en su

Række (matematik)

Række (matematik)
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az
image For alternative betydninger, se Række. (Se også artikler, som begynder med Række)

En række repræsenterer i matematikken en sum af et endeligt eller uendeligt antal led. De enkelte led i rækken kan være tal eller andre matematiske udtryk. Endelige rækker kan håndteres ved hjælp af elementær algebra, hvorimod uendelige rækker kræver redskaber fra den matematiske analyse for en stringent behandling.

Eksempler

Uendelige rækker

Achilleus og skildpadden

Et klassisk eksempel på en uendelig række forekommer i Zenons paradoks om Achilleus og skildpadden, hvor Achilleus giver den (i dette eksempel) 10 gange langsommere skildpadde et forspring i et kapløb. I tankeeksperimentet fremkommer følgende sum

1+110+1100+11000+….{\displaystyle 1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\ldots .}image

De enkelte led i denne række repræsenterer den tid det tager Achilleus at indhente skildpaddens forrige position, mens summen repræsenterer den samlede tid det tager for Achilleus at indhente skildpadden.

Man bemærker et hvert led i rækken fremkommer med at tage det forgående led og multiplicere med 1/10{\displaystyle 1/10}image:

1+110+1100+11000+…=(110)0+(110)1+(110)2+(110)3+…,{\displaystyle 1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\ldots =\left({\frac {1}{10}}\right)^{0}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{1}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\ldots ,}image

hvilket kan skrives ved hjælp af summationstegnet som

∑n=0∞(110)n.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}.}image

Denne uendelige række giver en endelig værdi trods det at den indeholder et uendeligt antal led

∑n=0∞(110)n=11−110=109.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}={\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {10}{9}}.}image

Man siger at rækken konvergerer, hvilket i eksemplet har den konsekvens at Achilleus indhenter skildpadden.

Divergerende uendelig række

Havde skildpadden overmodigt tilbudt Achilleus et lignende forspring ville følgende række have forekommet

∑n=0∞(10)n=1+10+100+1000+….{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(10)^{n}=1+10+100+1000+\ldots .}image

Her er hvert følgende led ti gange større end det foregående, og det går ikke godt for skildpadden! Rækken vokser progressivt mod uendelig, når de uendeligt mange led summeres. Man siger, at rækken divergerer.

Eksemplet ovenfor er et specialtilfælde af en geometrisk række, der kan skrives som

∑n=0∞zn,{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}image

hvor z{\displaystyle z}image er et vilkårligt komplekst tal. Denne række konvergerer for |z|<1{\displaystyle |z|<1}image og divergerer for |z|≥1{\displaystyle |z|\geq 1}image, i overensstemmelse med eksemplet, som benyttede z=1/10{\displaystyle z=1/10}image og z=10{\displaystyle z=10}image.

Et andet eksempel på en divergerende uendelig række er den harmoniske række

∑n=1∞1n=1+12+13+14+….{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots .}image

I en skifter fortegnet på hvert enkelt led, som f.eks. i den alternerende harmoniske række

∑n=0∞(−1)n1n=1−12+13−14+…=ln⁡2.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots =\ln 2.}image

I en potensrække repræsenteres en funktion f(x){\displaystyle f(x)}image ved en række, hvor de enkelte led er potenser af argumentet i funktionen:

f(x)=∑n=0∞an(x−c)n=a0+a1(x−c)+a2(x−c)2+a3(x−c)3+…,{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\ldots \,,}image

hvor an{\displaystyle a_{n}}image er koefficienten for det n{\displaystyle n}image'te led og c{\displaystyle c}image er en konstant.

En vigtig type af potensrækker er Taylorrækkerne, som repræsenterer en , f(x){\displaystyle f(x)}image med en række ud fra kendskabet til funktionsværdien og dens afledte for et bestemt værdi c{\displaystyle c}image:

f(x)=∑n=0∞f(n)(c)n!(x−c)n=f(c)+f′(c)(x−c)+f″(c)(x−c)22+f‴(c)(x−c)36+….{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c){\frac {(x-c)^{2}}{2}}+f'''(c){\frac {(x-c)^{3}}{6}}+\ldots \,.}image

Her repræsenterer f(n)(c){\displaystyle f^{(n)}(c)}image den n{\displaystyle n}image'te afledte af f{\displaystyle f}image i punktet c{\displaystyle c}image og n!{\displaystyle n!}image er fakulteten af n{\displaystyle n}image.

Taylorrækker med c=0{\displaystyle c=0}image kaldes .

Eksponentialfunktionen f(x)=ex{\displaystyle f(x)=e^{x}}image kan repræsenteres simpelt ved en en sådan serie, idet f(n)(0)=1{\displaystyle f^{(n)}(0)=1}image for alle n{\displaystyle n}image. Herved fås

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+12x2+16x3+…{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+\ldots }image

for alle værdier af x{\displaystyle x}image.

Endelige rækker

Et eksempel på en endelig række er den såkaldte sumrække, der er en sammentælling af en ubrudt række tal, fx 1+2+3+4+5+6 = 21

Sumrække startende med 1

Hvis talrækken starter med 1, kan man i stedet for at tælle en række tal sammen, benytte en simpel formel:

Sumn=(taln+1)∗taln2{\displaystyle Sum_{n}={\frac {\left(tal_{n}+1\right)*tal_{n}}{2}}}image
hvor taln er sidste tal i sumrækken.

For eksempel er summen af 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45:

Sum=((9+1)/2)∗9=5∗9=45{\displaystyle Sum=\left(\left(9+1\right)/2\right)*9=5*9=45}image

Sumrække ikke startende med 1

Hvis man i stedet skal tælle en ubrudt delrække, som ikke starter med 1, er formlen sammensat af summen for tal1 til taln med fradrag af summen af de foregående tal, som ikke indgår i rækken.

Sumdelrk.=(taln+1)∗taln−(tal1−1)∗tal12{\displaystyle Sum_{delrk.}={\left(tal_{n}+1\right)*tal_{n}-\left(tal_{1}-1\right)*tal_{1} \over 2}}image
hvor tal1 er første tal i sumrækken og taln er dens sidste tal.

Et eksempel er summen af 6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16 = 121:

Sum af delrække = ((16+1)∗16−6∗(6−1))/2=121{\displaystyle ((16+1)*16-6*(6-1))/2=121}image

Se også

  • Talfølge
  • 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
  • Kvotientkriteriet

Referencer

  1. Se side 450 i Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN 978-1-947172-14-2. (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf

Eksterne henvisninger

  • Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN 978-1-947172-14-2. (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: December 10, 2024, 05:25 am
De fleste læses
  • Kan 14, 2025

    Object Management Group

  • Kan 14, 2025

    Oberstløjtnant

  • Kan 15, 2025

    Omansk rial

  • Kan 10, 2025

    Jægermester

  • Kan 10, 2025

    Jæger- og samler

Daglige
  • Søren Pilmark

  • Ørkenens Sønner

  • Kongekabale

  • Riget

  • Afdeling Q

  • Eurovision Song Contest 2025

  • JJ (sanger)

  • Danmark i Eurovision Song Contest

  • Kurdistans Arbejderparti

  • Tyrkiet

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top