Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Du kan hjælpe ved at angive troværdige

Maxwells love

Maxwells love
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az
image Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Maxwells ligninger (også kendt som Maxwells love) er fire som tilsammen danner basis for den klassiske elektromagnetisme. De beskriver sammenhængen mellem elektriske og magnetiske felter, ladninger og elektrisk strøm. Ligningerne er opkaldt efter James Clerk Maxwell, som var den første der samlede ligningerne til et hele og korrigerede . Samtidig postulerede han (korrekt, skulle det vise sig) eksistensen af elektromagnetiske bølger, og at lys, varmestråling mm. var elektromagnetiske bølger.

Elektromagnetisme
image
Elektricitet • Magnetisme
Elektrostatik

Elektrisk ladning · Statisk elektricitet · Elektrisk felt · Elektrisk leder · Elektrisk isolator ·  ·  · Elektrostatisk induktion · Coulombs lov · Gauss' lov · Elektrisk flux · Elektrisk potentiale · Elektrisk dipolmoment ·

 · Curies lov · Magnet · Magnetfelt ·  · Magnetisk flux · Elektrisk strøm · Biot–Savarts lov ·  · Gauss' lov om magnetisme

Klassisk elektromagnetisme

Vakuum · Lorentz' kraftlov · Elektromagnetisk induktion · Elektromotorisk kraft · Faradays induktionslov · Lenz' lov ·  · Maxwells ligninger · Elektromagnetisk felt · Elektromagnetisk stråling · Poynting-vektor ·  ·  ·  ·

Elektronisk kredsløb

Elektrisk leder · Spænding · Resistans · Ohms lov · Effektformlen ·  ·  · Jævnstrøm · Vekselstrøm · Kapacitans · Induktans · Impedans ·  ·

 ·  ·  ·

Videnskabsmænd

Ampère · Coulomb · Faraday · Gauss · Heaviside · Henry · Hertz · Lorentz · Maxwell · Tesla · Volta · Weber · Ørsted

  • v
  • r

Maxwells ligninger kan udledes fra den endnu mere fundamentale kvantefeltteori kvanteelektrodynamik.

"Mikroskopiske" ligninger

De mikroskopiske Maxwell-ligninger udtrykt ved E{\displaystyle \mathbf {E} }image- og B{\displaystyle \mathbf {B} }image-feltet er generelle, og holder i alle tilfælde. Som regel anvendes de i vakuum. Ved at indføre den D{\displaystyle \mathbf {D} }image og H{\displaystyle \mathbf {H} }image kan ligningerne skrives på en alternativ form der tager højde for polariseringen og af materialer, se nedenfor.

Gauss' lov

image Uddybende artikel: Gauss' lov

Gauss' lov udtrykker sammenhængen mellem elektrisk ladning og det elektriske felter. Denne kan udtrykkes på integralform således:

∮SE⋅dA=1ε0∫VρdV=qencε0.{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho dV={\frac {q_{enc}}{\varepsilon _{0}}}.}image

I matematisk terminologi er integralet af E{\displaystyle \mathbf {E} }image-feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede ladning qenc{\displaystyle q_{enc}}image. Ladningen er ladningstætheden ρ(r,t){\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}image integreret over det omsluttede volumen

qenc=∫Vρ(r)dV.{\displaystyle q_{enc}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV.}image

Ækvivalent er er divergensen af E{\displaystyle \mathbf {E} }image-feltet lig den lokale ladningstæthed divideret med vakuumpermittiviteten ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}image . Dette kan udtrykkes således:

∇⋅E=ρε0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}image

Coulombs lov, der beskriver det elektriske felt fra elektriske ladninger, kan udledes af Gauss' lov.

Loven kan illustreres ved at forestille sig en gammeldags glødepære: Det lys, der strømmer ud gennem glasset i pæren, må svare til hvor kraftig en lyskilde, der er inde i glasset.

Gauss' lov om magnetisme

image Uddybende artikel: Gauss' lov om magnetisme

Gauss' lov om magnetisme udtrykker tilsvarende en sammenhæng for et magnetisk felt. Da der imidlertid (så vidt vides) ikke findes magnetiske monopoler, er den del der svarer til den elektriske ladning i Gauss' lov lig nul. Man kan jf. integralformen sige, at den samlede flux af det magnetiske felt igennem en lukket flade er lig nul. Heraf fremkommer det, at der ikke findes magnetiske monopoler. Matematisk udtrykkes dette:

∮SB⋅dA=0{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}image

I matematisk terminologi er integralet af B{\displaystyle \mathbf {B} }image-feltet over en lukket flade lig nul. B{\displaystyle \mathbf {B} }image-feltet siges også at være , da loven på differentialform siger at divergensen af B{\displaystyle \mathbf {B} }image altid er nul:

∇⋅B=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}image

I billedet med den gammeldags glødepære er pæren altid slukket; dvs. alt lys er kommer ind gennem glasset kommer også ud igen, og bidragene "ind" og "ud" går lige op.

Faradays lov

image Uddybende artikel: Faradays induktionslov

Faradays induktionslov fastlægger sammenhængen mellem det elektriske felt og det magnetiske felt. Loven beskriver hvordan et elektrisk felt rundt i en lukket sløjfe (f.eks. et stykke ledning) giver anledning til en magnetisk flux gennem kredsløbet. Sammenhængen virker også den modsatte vej (induktion): hvis den magnetiske flux gennem sløjfen ændrer sig, giver det anledning til et elektrisk felt. Matematisk udtrykkes dette:

∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dA.{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} .}image

I matematisk terminologi er integralet af E{\displaystyle \mathbf {E} }image-feltet over en lukket kurve lig den tidslige ændring af B{\displaystyle \mathbf {B} }image-feltets flux gennem en flade der har kurven som rand.

På differentialform giver loven sammenhængen mellem af E{\displaystyle \mathbf {E} }image og den tidsafledte af B{\displaystyle \mathbf {B} }image:

∇×E=−∂B∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}image

Faradays lov er basis for alle fænomener der beror på induktion, f.eks. transformatorer: Opbygges en spænding i den ene spole, skabes et magnetfelt, der giver en spænding i den anden spole.

Ampères lov

image Uddybende artikel:

Ampères lov giver relationen mellem elektrisk strøm og magnetisk felt: Det magnetiske felt B{\displaystyle \mathbf {B} }image summeret op (integreret) over en lukket kurve giver strømmen gennem den lukkede kurve. Maxwell indså at denne formulering ikke var komplet, og tilføjede et sekundært led der viser at ændringer i tid af det elektriske felt E{\displaystyle \mathbf {E} }image også giver anledning til et magnetfelt. Matematisk udtrykkes dette:

∮CB⋅dl=μ0∫SJ⋅dA+μ0ε0ddt∫SE⋅dA.{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} .}image

I matematisk terminologi er kurveintegralet af B{\displaystyle \mathbf {B} }image-feltet over en lukket kurve proportionel med summen af fluxen af strømtætheden og den tidsafledte af E{\displaystyle \mathbf {E} }image-feltet gennem en flade der har kurven som rand.

På differentialform giver loven sammenhængen mellem af B{\displaystyle \mathbf {B} }image og strømtætheden, med Maxwells tilføjelse:

∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}image

Bemærk at μ0ε0=1/c2{\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}=1/c^{2}}image, hvor c{\displaystyle c}image er lysets hastighed.

Samlet

Samlet udtrykkes Maxwells fire ligninger på vektorform på følgende måde:

Navn Integralform
Gauss' lov: ∇⋅E=ρε0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}image ∮SE⋅dA=1ε0∫VρdV{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho dV}image
Gauss' lov om magnetisme
(i fravær af magnetiske monopoler):
∇⋅B=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}image ∮SB⋅dA=0{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}image
Faradays induktionslov: ∇×E=−∂B∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}image ∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dA{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }image

(med Maxwells udvidelse):
∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}image ∮CB⋅dl=μ0∫SJ⋅dA+μ0ε0ddt∫SE⋅dA{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}t}}\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }image

Makroskopiske ligninger i materialer

I materialer med polarisering og kan Maxwell-ligningerne opstilles for det D{\displaystyle \mathbf {D} }image og den H{\displaystyle \mathbf {H} }image, der er givet ved de

D=ε0E+P{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }image
H=1μ0B−M{\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} }image.

H(r,t){\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)}image er , og M(r,t){\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)}image er .

I lineære, homogene og isotrope materialer er polariseringen og magnetiseringen givet ved

P=ε0χEE{\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{E}\mathbf {E} }image
M=χMH,{\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{M}\mathbf {H} ,}image

hvor χE{\displaystyle \chi _{E}}image er den og χM{\displaystyle \chi _{M}}image er den . D{\displaystyle \mathbf {D} }image- og H{\displaystyle \mathbf {H} }image-felterne er i dette tilfælde relateret til E{\displaystyle \mathbf {E} }image- og B{\displaystyle \mathbf {B} }image-felterne ved

D=εE{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }image
B=μH.{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} .}image

Her er ε{\displaystyle \varepsilon }image permittiviteten af materialet, relateret til den elektriske susceptibilitet ved

ε=ε0(1+χE),{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}(1+\chi _{E}),}image

og μ{\displaystyle \mu }image er permeabiliteten af materialet, relateret til den magnetiske susceptibilitet ved

μ=μ0(1+χM).{\displaystyle \mu =\mu _{0}(1+\chi _{M}).}image

I vakuum er ε=ε0{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}}image og μ=μ0{\displaystyle \mu =\mu _{0}}image, så felterne er givet ved de simple relationer

D=ε0E{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }image
B=μ0H.{\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} .}image

Ved at beskrive materialerne ved deres polarisering og magnetisering kan Maxwell-ligningerne omskrives til kun at indeholde den ρf{\displaystyle \rho _{f}}image og den frie Jf{\displaystyle \mathbf {J} _{f}}image. Disse størrelser beskriver den ladning og strøm der er tilbage når polariseringen og magnetiseringen er taget i betragtning, og bidrager ikke til disse. I en leder vil den frie strøm være strømmen af der transporteres igennem lederen.

Gauss' lov

I materialer udtrykker Gauss' lov sammenhængen mellem og det . På integralform skrives

∮SD⋅dA=∫VρfdV=qf.{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho _{f}dV=q_{f}.}image

I matematisk terminologi er integralet af D{\displaystyle \mathbf {D} }image-feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede frie ladning qf{\displaystyle q_{f}}image. Ladningen er ladningstætheden ρf(r,t){\displaystyle \rho _{f}(\mathbf {r} ,t)}image integreret over det omsluttede volumen V{\displaystyle V}image

qf=∫Vρf(r)dV.{\displaystyle q_{f}=\int _{V}\rho _{f}(\mathbf {r} )dV.}image

På differentialform bliver loven:

∇⋅D=ρf.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}.}image

Gauss' lov om magnetisme

Gauss' lov om magnetisme er uændret i makroskopiske materialer, og skrives stadig med E{\displaystyle \mathbf {E} }image- og B{\displaystyle \mathbf {B} }image-felterne som

∮SB⋅dA=0,{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0,}image

eller på differentialform som:

∇⋅B=0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}image

Faradays lov

Faradays induktionslov er også uændret. På integralform:

∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dA,{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} ,}image

og differentialform:

∇×E=−∂B∂t.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}image

Ampères lov

giver forholdet mellem den magnetiske intensitet H{\displaystyle \mathbf {H} }image og frie strøm Jf{\displaystyle \mathbf {J} _{f}}image. Desuden optræder

JD=∂D∂t,{\displaystyle \mathbf {J} _{D}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},}image

som Maxwell tilføjede til Ampères lov for at få den til at stemme overens med eksperimenter. På integralform er loven:

∮CH⋅dl=∫SJf⋅dA+∂∂t∫SD⋅dA.{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J_{f}} \cdot d\mathbf {A} +{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} .}image

På differentialform er loven:

∇×H=Jf+∂D∂t.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.}image

Samlet

Samlet udtrykkes Maxwells fire ligninger (for makroskopiske materialer) på vektorform på følgende måde:

Navn Integralform
Gauss' lov: ∇⋅D=ρf{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}image ∮SD⋅dA=∫VρfdV{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho _{f}dV}image
Gauss' lov om magnetisme
(i fravær af magnetiske monopoler):
∇⋅B=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}image ∮SB⋅dA=0{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}image
Faradays induktionslov: ∇×E=−∂B∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}image ∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dA{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }image

(med Maxwells udvidelse):
∇×H=Jf+∂D∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}image ∮CH⋅dl=∫SJf⋅dA+∂∂t∫SD⋅dA{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J_{f}} \cdot d\mathbf {A} +{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} }image

Variabler

Den nedenstående tabel forklarer de enkelte symboler der indgår i Maxwells ligninger og giver SI-enheden for hver enkelt (vektorstørrelser er med fed skrift, i kursiv):

Symbol Betydning SI-enhed
E{\displaystyle \mathbf {E} }image Elektrisk feltstyrke Volt per meter
H{\displaystyle \mathbf {H} }image Magnetisk feltstyrke Ampere per meter
D{\displaystyle \mathbf {D} }image
også kaldet elektrisk fluxtæthed
Coulomb pr. kvadratmeter
B{\displaystyle \mathbf {B} }image Tesla eller
Weber pr. kvadratmeter
 ρ {\displaystyle \ \rho \ }image Total elektrisk ladningstæthed Coulomb pr. kubikmeter
 ρf {\displaystyle \ \rho _{f}\ }image Fri elektrisk ladningstæthed,
uden elektriske dipoler bundet i et materiale
Coulomb pr. kubikmeter
J{\displaystyle \mathbf {J} }image Total strømtæthed Ampere pr. kvadratmeter
Jf{\displaystyle \mathbf {J_{f}} }image Fri strømtæthed,
uden - og bundet i et materiale
Ampere pr. kvadratmeter
dA{\displaystyle d\mathbf {A} }image vektorelement af en overflade A, med infinitesimal

størrelse og retning normal til overfladen S

kvadratmeter
dV {\displaystyle dV\ }image Differentielt volumenelement af volumenet V omsluttet af fladen S kubikmeter
dl{\displaystyle d\mathbf {l} }image Differentielt vektorelement af en kurve C, der omslutter fladen S meter
∇⋅{\displaystyle \nabla \cdot }image (operator) Pr. meter
∇×{\displaystyle \nabla \times }image (operator) Pr. meter

Ladningsbevarelse

image Hovedartikel: Ladningsbevarelse.

Den samlede elektriske ladning i et lukket system er konstant. Det kan vises ved at tage divergensen er Ampères lov:

∇⋅(∇×B)=∇⋅(μ0J+μ0ε0∂E∂t)=μ0(∇⋅J+ε0∂∂t(∇⋅E)){\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)\right)}image

På venstresiden står divergensen til en rotation, hvilket altid givet 0. På højresiden kan divergensen til det elektriske felt erstattes med ladningstætheden jf. Gauss' lov:

0=μ0(∇⋅J+ε0∂∂t(ρε0))=μ0(∇⋅J+∂ρ∂t){\displaystyle 0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}image

Vakuumpermeabiliteten kan divideres væk, og ligningen bliver da:

∂ρ∂t+∇⋅J=0{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}image

Dette er kontinuitetsligningen, og dermed er det vist, at ladningsbevarelse er indbygget i Maxwells ligninger. Hvis et systems samlede ladning skal stige, skal den ekstra ladning altså tilføres udefra.

Kildehenvisninger

  1. Nave, Carl Rod. "Maxwell's Equations 2" (engelsk). . Hentet 7. april 2020.
  2. Nave, Carl Rod. "Maxwell's Equations" (engelsk). . Hentet 7. april 2020.
  3. Nave, Carl Rod. "Charge Conservation" (engelsk). . Hentet 7. april 2020.

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: Marts 23, 2025, 21:21 pm
De fleste læses
  • Kan 15, 2025

    Sumak-familien

  • Kan 09, 2025

    Sult (roman)

  • Kan 08, 2025

    Sukkerfabrik

  • Kan 13, 2025

    Sufisme

  • Kan 13, 2025

    Submarino

Daglige
  • Søren Pilmark

  • Skuespiller

  • Blinkende lygter

  • Afdeling Q

  • Gøngehøvdingen (tv-serie)

  • Vikings (tv-serie)

  • Gazakrigen 2023-nu

  • Kartoffelsagen

  • Kurdistans Arbejderparti

  • Natly

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top