Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

En ækvivalensrelation R displaystyle R på en mængde X er en relation der opfylder følgende for alle a b c X displaystyle

Ækvivalensrelation

Ækvivalensrelation
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az

En ækvivalensrelation R{\displaystyle R}{\displaystyle R} på en mængde X er en relation, der opfylder følgende for alle a,b,c∈X{\displaystyle a,b,c\in X}{\displaystyle a,b,c\in X}

  1. Refleksiv: (a,a)∈R{\displaystyle (a,a)\in R}{\displaystyle (a,a)\in R}
  2. Transitiv (a,b)∈R∧(b,c)∈R⇒(a,c)∈R{\displaystyle (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R}{\displaystyle (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R}
  3. Symmetrisk: (a,b)∈R⇒(b,a)∈R{\displaystyle (a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R}{\displaystyle (a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R}

Ækvivalensrelationer bliver ofte betegnet med en tilde, sådan at (a,b)∈R{\displaystyle (a,b)\in R}{\displaystyle (a,b)\in R} bliver skrevet a∼b{\displaystyle a\sim b}{\displaystyle a\sim b}. Med denne notation kan aksiomerne omskrives:

  1. Refleksiv: a ~ a for alle a ∈ X.
  2. Transitiv: a ~ b og b ~ c ⇒ a ~ c for alle a, b, c ∈ X.
  3. Symmetrisk: a ~ b ⇒ b ~ a for alle a, b ∈ X.

Er a ~ b siger man, at a og b er ækvivalente.

På enhver mængde X er relationen lighed (=) og relationen, hvor alle elementer i X er ækvivalente, begge ækvivalensrelationer. Det er den mindste hhv. største ækvivalensrelation på X. Opfattet som mængder er lighed nemlig diagonalen { (a, a) | a ∈ X }, og den anden relation er hele X×X.

Givet en ækvivalensrelation ~ på en mængde X kan man dele X op i en række delmængder, hvor alle elementer er indbyrdes ækvivalente. Disse delmængder kaldes ækvivalensklasser og skrives typisk vha. en repræsentant for klassen: [a] = { b ∈ X | a ~ b } ⊆ X. Mængden af alle disse ækvivalensklasser betegnes X/~, og de udgør en partition af X. Dvs. at alle ækvivalensklasser er disjunkte, og foreningen af dem alle er X.

Omvendt kan man også konstruere en ækvivalensrelation på en mængde X ud fra en partition (Xα), ved at sætte a ~ b ⇔ a og b er indeholdt i samme Xα.

Eksempler

På de hele tal Z kan man definere relationen ~ ved

a ~ b ⇔ 4 | a – b.

Her skal 4 | x betyde "4 går op i x". Denne relation kaldes kongruens modulo 4 ("a og b er kongruente modulo 4"), og er en ækvivalensrelation, da

  1. 4 | a – a = 0 ⇒ a ~ a,
  2. a ~ b og b ~ c ⇒ 4 | a – b og 4 | b – c ⇒ 4 | (a – b) + (b – c) = a – c ⇒ a ~ c,
  3. a ~ b ⇒ 4 | a – b ⇒ 4 | -(a – b) = b – a ⇒ b ~ a,

for alle a, b, c ∈ Z.

Mængden af ækvivalensklasser mht. denne relation Z/~ kommer nu til at bestå af disse fire mængder:

  • [0] = [4] = [508] = { ..., -8, -4, 0, 4, 8, ... } = { 4n | n ∈ Z }
  • [1] = [5] = [-47] = { ..., -7, -3, 1, 5, 9, ... } = { 4n + 1 | n ∈ Z }
  • [2] = [-2] = [3438] = { ..., -6, -2, 2, 6, 10, ... } = { 4n + 2 | n ∈ Z }
  • [3] = [-1] = [8999] = { ..., -5, -1, 3, 7, 11, ... } = { 4n + 3 | n ∈ Z }

Indenfor gruppeteori kan dette generaliseres: hvis H{\displaystyle H}image er en delgruppe af en gruppe G{\displaystyle G}image, så er to elementer a,b∈G{\displaystyle a,b\in G}image højrekongruente modulo H{\displaystyle H}image hvis ab−1∈H{\displaystyle ab^{-1}\in H}image. Dette definerer en ækvivalensrelation, da

  1. aa−1=1∈H{\displaystyle aa^{-1}=1\in H}image, hvor 1 er neutralelementet i G{\displaystyle G}image (og dermed også H{\displaystyle H}image)
  2. ab−1∈H∧bc−1∈H⇒(ab−1)(bc−1)=ac−1∈H{\displaystyle ab^{-1}\in H\wedge bc^{-1}\in H\Rightarrow (ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}\in H}image
  3. ab−1∈H⟺(ab−1)−1=ba−1∈H{\displaystyle ab^{-1}\in H\iff (ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\in H}image

Ligeledes defineres venstrekongruens ved b−1a∈H{\displaystyle b^{-1}a\in H}image. Hvis disse to er sammenfaldende, siges H{\displaystyle H}image at være en af G{\displaystyle G}image.

På mængden af alle mennesker har man relationen "født i samme stjernetegn som". Dette er en ækvivalensrelation, da

  1. enhver er født i samme stjernetegn som sig selv,
  2. hvis a er født i samme stjernetegn som b og b er født i samme stjernetegn som c, så er a også født i samme stjernetegn som c,
  3. hvis a er født i samme stjernetegn som b, så er b også født i samme stjernetegn som a.

Dette deler alle mennesker ind i 12 ækvivalensklasser af folk, der er født i samme stjernetegn.

Referencer

  1. Hungerford, T. W.: Algebra, s. 37. (c) Springer-Verlag 1974.
imageSpire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: Februar 01, 2025, 15:36 pm
De fleste læses
  • Kan 18, 2025

    Merinould

  • Kan 22, 2025

    Mergel

  • Kan 20, 2025

    Mercia

  • Kan 11, 2025

    Mercantec

  • Kan 10, 2025

    Menneskesyn

Daglige
  • BBC

  • Torchwood

  • Ncuti Gatwa

  • Bukarest

  • Nicușor Dan

  • Wasted Love (JJ-sang)

  • Novo Nordisk

  • Aabenraa

  • Karpatiske Biosfærereservat

  • Zakarpatska oblast

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top