Gruppe (matematik)

For alternative betydninger, se Gruppe. (Se også artikler, som begynder med Gruppe)

En gruppe er inden for matematikken en . Gruppen er en abstrakt struktur, der tillader undersøgelse af systemer på et mere generelt niveau, end hvis man definerede et konkret system.

Definition

En gruppe ${\displaystyle (G,\star )}$ er en ikke-tom mængde ${\displaystyle G}$ hvorpå der er defineret en binær operator ${\displaystyle \star \colon G\times G\to G}$, der opfylder aksiomerne:

1. Lukket mængde: ${\displaystyle \forall x,y\in G:x\star y\in G}$ (Elementet efter operationen er også i gruppen)
2. Associativitet: ${\displaystyle \forall x,y,z\in G:(x\star y)\star z=x\star (y\star z)}$ (det er ligegyldigt om man starter x og y, eller y og z).
3. Neutralt element: ${\displaystyle \exists e\in G\;\forall x\in G:e\star x=x\star e=x}$ (der er et element der gør "ingenting").
4. : ${\displaystyle \forall x\in G\;\exists y\in G:x\star y=y\star x=e}$, hvor ${\displaystyle e}$ er det neutrale element (for hvert element er der et andet element der "virker modsat").

Som oftest, når man har med binære operatorer at gøre, skriver man ${\displaystyle x\star y}$ eller blot ${\displaystyle xy}$ i stedet for den sædvanlige notation ${\displaystyle \star (x,y)}$.

Er operatoren ${\displaystyle \star }$ også kommutativ, dvs. ${\displaystyle \forall x,y\in G:x\star y=y\star x}$ (dvs. "rækkefølgen er ligegyldig"), kaldes gruppen ${\displaystyle (G,\star )}$ for en abelsk gruppe (eller kommutativ gruppe) efter den norske matematiker Niels Henrik Abel.

Det kan vises, at for alle ${\displaystyle x\in G}$ er det tilhørende inverse element entydigt bestemt. Det betegnes normalt ${\displaystyle x^{-1}}$. Desuden er det neutrale element ${\displaystyle e}$ også unikt; alle grupper har præcist et sådant element.

Undergrupper

En delmængde ${\displaystyle H\subseteq G}$ kaldes en undergruppe af ${\displaystyle (G,\star )}$, hvis ${\displaystyle (H,\star )}$ er en gruppe i sig selv. Altså skal ${\displaystyle H}$

1. indeholde det neutrale element: ${\displaystyle e\in H}$,
2. indeholde alle inverse elementer: ${\displaystyle \forall x\in H:x^{-1}\in H}$,
3. være under ${\displaystyle \star }$: ${\displaystyle \forall x,y\in H:x\star y\in H}$ (dvs. alle operationer med ${\displaystyle \star }$ skal give et element inden for mængden).

Det kan dog vises, at ${\displaystyle H\subseteq G}$ er en undergruppe af ${\displaystyle (G,\star )}$ hvis, og kun hvis ${\displaystyle \forall x,y\in H:x\star y^{-1}\in H}$.

Lad ${\displaystyle (G,\star )}$ og ${\displaystyle (H,\bullet )}$ være to grupper. En afbildning ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ kaldes en gruppehomomorfi, hvis ${\displaystyle \phi }$ respekterer sammensætning i de to grupper; dvs. hvis afbildningen af sammensætningen i ${\displaystyle G}$ er lig sammensætningen af elementernes afbildninger i ${\displaystyle H}$: ${\displaystyle \forall x,y\in G:\phi (x\star y)=\phi (x)\bullet \phi (y)}$. Hvis en homomorfi også er bijektiv kaldes det en isomorfi. To grupper kaldes isomorfe, hvis der findes en isomorfi mellem dem.

Eksempler

Et typisk eksempel på en gruppe er (Z, +), mængden af hele tal med operatoren plus:

1. Summen af to heltal vil altid være lig et heltal.
2. Plus er associativt, da (x + y) + z = x + (y + z) for alle heltal x, y og z.
3. Det neutrale element er heltallet 0, da x + 0 = 0 + x = x for alle heltal x.
4. For alle hele tal x er -x igen et heltal, og x + (-x) = (-x) + x = 0, så alle hele tal har et inverst element mht. plus.

Denne gruppe er også abelsk, da x + y = y + x for alle hele tal x og y.

På samme måde er (Q, +), (R, +) og (C, +) (hhv. rationale tal, reelle tal og komplekse tal) også abelske grupper, men ikke (N, +) ( tal, dvs. de positive heltal). Selv (N₀, +) er ikke en gruppe, da der ikke findes inverse elementer i de naturlige tal mht. plus. F.eks. kan man ikke finde et naturligt tal at lægge til 2 for at få 0.

Permutationsgrupper

Lad nu X være en endelig mængde, og lad G = { f: X → X | f bijektiv } være mængden af alle bijektive funktioner fra X ind i sig selv. Disse funktioner i G kaldes også permutationer (af X). Nu bliver (G, •), hvor • betyder funktionssammensætning, til en gruppe:

1. Alle funktionerne er per definition selv medlem af gruppen.
2. Funktionssammensætning er altid associativt, så (f • g) • h = f • (g • h) for alle f, g, h i G.
3. Det neutrale element i G er identitetsfunktionen på X. Dvs. funktionen id_X: X → X, hvor id_X(x) = x. Nu er det klart, at f • id_X = id_X • f = f for alle f i G.
4. Da alle funktioner f i G er bijektive, har de også en invers funktion f ^-1, der også er bijektiv og dermed også et element i G. Dette er også f 's inverse element i gruppen, da f • f ^-1 = f ^-1 • f = id_X.

Dette kaldes den symmetriske gruppe over X og betegnes Sym(X). Er X mængden {1, 2, ..., n} betegnes Sym(X) blot S_n. Hvis |X| = n, så er Sym(X) isomorf til S_n.

I modsætning til de forrige eksempler er disse grupper hverken abelske (for n > 2) eller uendelige (|S_n| = n!). Der findes dog både uendelige ikke-abelske grupper og endelige abelske grupper.

Alle de symmetriske grupper og deres undergrupper kaldes under et for permutationsgrupper. Dette er en meget vigtig klasse af grupper, da den i en vis forstand indeholder alle endelige grupper.

Se også

• Gruppe – for andre betydninger.
• Gruppeteori
• Små grupper