Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Support
www.wp1.da-dk.nina.az
  • Wikipedia

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Du kan hjælpe ved at angive troværdige

Vektorrum

Vektorrum
www.wp1.da-dk.nina.azhttps://www.wp1.da-dk.nina.az
image Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Inden for matematik er et vektorrum en abstrakt . Definitionen af et vektorrum er inspireret af de sædvanlige geometriske vektorer, og den sikrer at der er to regneoperationer, nemlig addition af vektorer med vektorer og multiplikation af en vektor med en skalar (se afsnittet Definition), som er stabile i den betydning at resultatet altid også er en vektor som ved almindelige geometriske vektorer (disse er således et specialtilfælde af vektorer).

Definition

Ved et vektorrum over legemet K{\displaystyle \mathbb {K} }image (også kaldet et K{\displaystyle \mathbb {K} }image-vektorrum) forstås en mængde V{\displaystyle V}image udstyret med to operationer

+:V×V→V{\displaystyle +:V\times V\to V}image

og

⋅:K×V→V{\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times V\to V}image

som opfylder følgende betingelser (aksiomer):

  • Additionen gør (V,+){\displaystyle (V,+)}image til en abelsk (dvs. kommutativ) gruppe. Det betyder at
    1. (u→+v→)+w→=u→+(v→+w→){\displaystyle ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})}image for alle u→,v→,w→∈V{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V}image (associativitet)
    2. Der eksisterer et neutralt element o→{\displaystyle {\vec {o}}}image kaldet nulvektoren som opfylder at v→+o→=o→+v→=v→{\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {o}}={\vec {o}}+{\vec {v}}={\vec {v}}}image for alle v→∈V{\displaystyle {\vec {v}}\in V}image
    3. Enhvert element v→∈V{\displaystyle {\vec {v}}\in V}image har et element (en modsat vektor) kaldet −v→{\displaystyle -{\vec {v}}}image som opfylder at v→+(−v→)=(−v→)+v→=o→{\displaystyle {\vec {v}}+(-{\vec {v}})=(-{\vec {v}})+{\vec {v}}={\vec {o}}}image
    4. u→+v→=v→+u→{\displaystyle {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}}image for alle u→,v→∈V{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}\in V}image (kommutativitet)
  • Multiplikationen opfylder betingelserne (gangetegnet ⋅{\displaystyle \cdot }image udelades normalt)
    1. (rs)v→=r(sv→){\displaystyle (rs){\vec {v}}=r(s{\vec {v}})}image for alle r,s∈K{\displaystyle r,s\in \mathbb {K} }image og v→∈V{\displaystyle {\vec {v}}\in V}image (en slags associativitet)
    2. r(u→+v→)=ru→+rv→{\displaystyle r({\vec {u}}+{\vec {v}})=r{\vec {u}}+r{\vec {v}}}image for alle r∈K{\displaystyle r\in \mathbb {K} }image og u→,v→∈V{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}\in V}image (distributivitet over additionen i V{\displaystyle V}image)
    3. (r+s)v→=rv→+sv→{\displaystyle (r+s){\vec {v}}=r{\vec {v}}+s{\vec {v}}}image for alle r,s∈K{\displaystyle r,s\in \mathbb {K} }image og v→∈V{\displaystyle {\vec {v}}\in V}image (distributivitet over additionen i legemet K{\displaystyle \mathbb {K} }image)
    4. 1v→=v→{\displaystyle 1{\vec {v}}={\vec {v}}}image for alle v→∈V{\displaystyle {\vec {v}}\in V}image hvor 1{\displaystyle 1}image betegner ét-elementet (det multiplikative neutralelement) i legemet, 1∈K{\displaystyle 1\in \mathbb {K} }image

Elementerne i V{\displaystyle V}image kaldes da vektorer, mens elementerne i K{\displaystyle \mathbb {K} }image kaldes skalarer.

Bemærk at der skal foreligge et legeme med alt hvad det indebærer, før man kan indføre et vektorrum. Meget ofte er legemet K{\displaystyle \mathbb {K} }image simpelthen R{\displaystyle \mathbb {R} }image, de reelle tal, eller C{\displaystyle \mathbb {C} }image, de komplekse tal, men vektorrum over andre legemer betragtes også. Hvis man i det ovenstående udskifter legemet K{\displaystyle \mathbb {K} }image med en generel ring, omtaler man ikke V{\displaystyle V}image som et vektorrum, men som en (eller et modul).

Vektorrum er centrale inden for disciplinen lineær algebra, men de forekommer også inden for (stort set alle) mere avancerede matematiske områder.

Tilknyttede begreber

Underrum

En ikke-tom delmængde W⊆V{\displaystyle W\subseteq V}image kaldes et underrum af vektorrummet, hvis det er lukket under addition af vektorer og multiplikation med skalar, altså hvis v+w{\displaystyle v+w}image er indeholdt i W{\displaystyle W}image for alle v→,w→∈W{\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in W}image og rv→{\displaystyle r{\vec {v}}}image er indeholdt i W{\displaystyle W}image for alle vektorer v→∈W{\displaystyle {\vec {v}}\in W}image og skalarer r∈K{\displaystyle r\in \mathbb {K} }image. Et underrum af et vektorrum V{\displaystyle V}image er i sig selv et vektorrum (over samme legeme), med de samme (men restringerede) regneoperationer.

Indre produkt rum

Et vektorrum over legemet R{\displaystyle \mathbb {R} }image eller C{\displaystyle \mathbb {C} }image kaldes et indre produkt rum hvis det har tilknyttet et indre produkt. Et indre produkt rum giver anledning til at tale begreber som længde eller ortogonalitet mellem elementer i vektorrummet. Man kan da anvende analytiske redskaber som Pythagoras' sætning, Cauchy-Schwarz' uligheden og . Et typisk eksempel kan være det reelle euklidiske vektorrum Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}image udstyret med skalarproduktet.

Linearkombination, basis og dimension

En mængde B{\displaystyle B}image af vektorer fra V{\displaystyle V}image kaldes en basis for vektorrummet hvis det gælder at ethvert element v→∈V{\displaystyle {\vec {v}}\in V}image på én og kun én måde kan opskrives som et udtryk af typen

v→=r1b1→+r2b2→+r3b3→+…+rkbk→{\displaystyle {\vec {v}}=r_{1}{\vec {b_{1}}}+r_{2}{\vec {b_{2}}}+r_{3}{\vec {b_{3}}}+\ldots +r_{k}{\vec {b_{k}}}}image

hvor alle ri∈K{\displaystyle r_{i}\in \mathbb {K} }image og alle bi→∈B{\displaystyle {\vec {b_{i}}}\in B}image. En sum af denne type kaldes i øvrigt en linearkombination.

Alle baser for et bestemt vektorrum består af lige mange elementer. Dette antal (der eventuelt kan være et transfinit kardinaltal) kaldes vektorrummets dimension.

Hvis dimensionen er endelig, kan et valg af en fast basis bruges til at koordinatisere vektorrummet.

Hvis K{\displaystyle \mathbb {K} }image er et med pm{\displaystyle p^{m}}image elementer, og V{\displaystyle V}image er et d{\displaystyle d}image-dimensionalt vektorrum over K{\displaystyle \mathbb {K} }image, så indeholder V{\displaystyle V}image præcis (pm)d{\displaystyle (p^{m})^{d}}image vektorer.

Eksempler

Standardeksemplet på et vektorrum (over R{\displaystyle \mathbb {R} }image) er R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}image, planen. Vektorerne er da talpar (x,y){\displaystyle (x,y)}image som kan repræsenteres ved pile. Sådanne vektorer kendes fra gymnasiet. Generalisationen til Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}image, talsæt af typen (x1,x2,…,xn){\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}image, er ligetil.

Mængden af alle "formelle" polynomier (med reelle koefficienter) i en (abstrakt) variabel T{\displaystyle T}image er et vektorrum. To polynomier kan nemlig adderes hvorved man får et nyt polynomium, man kan gange et polynomium med et tal, og alle ovenstående aksiomer (krav) er opfyldt.

Mængden af sådan polynomier af højst 2 er et underrum heraf. Dette underrum har dimension 3 da en basis for det fx er B={T2,T,1}{\displaystyle B=\{T^{2},T,1\}}image.

Lad X{\displaystyle X}image være en vilkårlig (definitions)mængde. Så er mængden af alle afbildninger f:X→K{\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }image et vektorrum. Addition og multiplikation er de oplagte

  • (f+g)(x)=f(x)+g(x){\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}image
  • (rf)(x)=r(f(x)){\displaystyle (rf)(x)=r(f(x))}image

For eksempel er mængden af alle funktioner [0,1]→R{\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} }image et vektorrum over R{\displaystyle \mathbb {R} }image.

Mængden af integrable (se integralregning) reelle funktioner på [0,1]{\displaystyle [0,1]}image er ligeledes et vektorrum, og underrum af ovennævnte. Et underrum heraf igen kunne være C∞(0,1){\displaystyle C^{\infty }(0,1)}image, mængden af vilkårligt ofte differentiable funktioner på [0,1]{\displaystyle [0,1]}image.

En etpunktsmængde V={o→}{\displaystyle V=\{{\vec {o}}\}}image er et trivielt vektorrum (addition og multiplikation kan kun defineres på én måde). Basis for dette vektorrum er den tomme mængde, B=∅={}{\displaystyle B=\emptyset =\{\}}image; derfor er dimensionen af det trivielle vektorrum 0.


  • image Wikimedia Commons har flere filer relateret til Vektorrum
imageSpire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer

Udgivelsesdato: December 26, 2024, 08:32 am
De fleste læses
  • Kan 19, 2025

    Kurer (bud)

  • Kan 13, 2025

    Kungälvs kommun

  • Kan 12, 2025

    Kungsholmen

  • Kan 14, 2025

    Kulturpolitik

  • Kan 08, 2025

    Kulturhistoriker

Daglige
  • Skuespiller

  • Ørkenens Sønner

  • Afdeling Q

  • Svend Gønge

  • 1864 (tv-serie)

  • Harry (DSB)

  • Robertprisen

  • E-metanol

  • Konklavet 2025

  • Natly

NiNa.Az - Studio

  • Wikipedia

Tilmelding af nyhedsbrev

Ved at abonnere på vores mailingliste vil du altid modtage de seneste nyheder fra os.
Kom i kontakt
Kontakt os
DMCA Sitemap Feeds
© 2019 nina.az - Alle rettigheder forbeholdes.
Ophavsret: Dadaş Mammedov
Top